Limites explicites de vitesse de Lieb-Robinson

Les limites de Lieb-Robinson décrivent comment les effets se propagent à travers un système en raison d'un hamiltonien local. Ils sont souvent décrits sous la forme où et sont des opérateurs séparés par une distance sur un réseau où le hamiltonien a des interactions locales (par exemple , du plus proche voisin) sur ce réseau, délimité par une certaine force . Les preuves de la borne de Lieb Robinson montrent généralement l'existence d'une vitesse (qui dépend de ). Ceci est souvent très utile pour délimiter des propriétés dans ces systèmes. Par exemple, il y a eu de très bons résultats ici

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ concernant le temps qu'il faut pour générer un état GHZ en utilisant un hamiltonien le plus proche voisin.

Le problème que j'ai eu est que les preuves sont suffisamment génériques qu'il est difficile d'obtenir une valeur sur ce que la serré vitesse fait est pour un système donné.

Pour être précis, imaginez une chaîne unidimensionnelle de qubits couplée par un hamiltonien où pour tout . Ici , et représentent un opérateur Pauli appliqué à un qubit donné , et partout ailleurs. Pouvez-vous donner une bonne limite supérieure (c'est-à-dire aussi serrée que possible) pour la vitesse de Lieb-Robinson pour le système dans l'équation. (1)?

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

Cette question peut être posée sous deux hypothèses différentes:

Le $J_n$ et $B_n$ sont tous fixés dans le temps
Le $J_n$ et le $B_n$ peuvent varier dans le temps.

La première est une hypothèse plus forte qui peut rendre les preuves plus faciles, tandis que la seconde est généralement incluse dans la déclaration des limites de Lieb-Robinson.

Motivation

Le calcul quantique, et plus généralement l'information quantique, revient à faire des états quantiques intéressants. À travers des travaux comme celui- ci , nous voyons que l'information prend un certain temps pour se propager d'un endroit à un autre dans un système quantique en cours d'évolution en raison d'un hamiltonien comme dans l'équation. (1), et que les états quantiques, tels que les états GHZ, ou les états avec un ordre topologique, prennent un certain temps à produire. Ce que le résultat montre actuellement est une relation d'échelle, par exemple le temps requis est $\Omega(N)$ .

Alors, disons que je viens avec un système qui fait le transfert d'information ou produit un état GHZ etc. d'une manière linéaire dans des échelles . Quelle est la qualité de ce régime en fait? Si j'ai une vitesse explicite, je peux voir à quel point le coefficient de mise à l'échelle est proche dans mon schéma par rapport à la limite inférieure. $N$

Si je pense qu'un jour ce que je veux voir est un protocole implémenté en laboratoire, alors je me soucie beaucoup d'optimiser ces coefficients de mise à l'échelle, pas seulement la fonctionnalité de mise à l'échelle large, car plus je peux implémenter un protocole rapidement, moins il y a de chance est pour que le bruit arrive et gâche tout.

Plus d'informations

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Il y a quelques fonctionnalités intéressantes de cet hamiltonien qui, je suppose, facilitent le calcul. En particulier, l'hamiltonien a une structure de sous-espace basée sur le nombre de 1 dans la base standard (on dit qu'il préserve l'excitation) et, mieux encore, la transformation de Jordan-Wigner montre que toutes les propriétés des sous-espaces d'excitation supérieure peuvent être dérivées du sous-espace 1-excitation. $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ , où Il existe des preuves que la vitesse de Lieb-Robinson est , comme ici et ici , mais elles utilisent toutes une chaîne proche à uniformément couplée, qui a une vitesse de groupe (et je suppose que la vitesse de groupe est étroitement liée à la Vitesse de Lieb-Robinson). Cela ne prouve pas que tous les choix possibles de force de couplage ont une vitesse qui est ainsi limitée.

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

Je peux ajouter un peu plus à la motivation. Considérons l'évolution temporelle d'une seule excitation commençant à une extrémité de la chaîne, , et quelle est son amplitude pour arriver à l'autre extrémité de la chaîne , un court instant plus tard. Pour une première commande dans , c'est Vous pouvez voir la fonctionnalité exponentielle à laquelle vous vous attendriez en dehors du `` cône de lumière '' défini par un système Lieb-Robinson, mais plus important encore, si vous vouliez maximiser cette amplitude, vous tous les $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ . Ainsi, en peu de temps, le système à couplage uniforme conduit au transfert le plus rapide. En essayant de pousser plus loin, vous pouvez demander, comme un peu de fudge, quand peut-on Prendre la grande limite et utiliser la formule de Stirling sur la factorielle conduit à ce qui suggère une vitesse maximale d'environ . Fermer, mais peu rigoureux (car les termes d'ordre supérieur ne sont pas négligeables)!

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
source

Avez-vous calculé la meilleure limite LR à partir des preuves pour ce modèle? Comment cela se compare-t-il à la vitesse que vous citez?

— Norbert Schuch

Ok, je concède que c'est une question d'informatique quantique, du moins la façon dont je l'interprète maintenant: "Quel est le choix de et (sous réserve de certaines contraintes) qui donne la vitesse maximale pour le transfert d'informations / état / .... " --- Est-ce la bonne interprétation?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch Pas tout à fait. Je veux pouvoir dire "J'ai trouvé un ensemble de couplages qui réalise un protocole avec une certaine mise à l'échelle. Ce protocole est connu pour être contraint par les limites de Lieb-Robinson. Dans quelle mesure suis-je proche de saturer cette contrainte?" pour mesurer la vitesse de mon protocole.

— DaftWullie

@DaftWullie Alors - est-ce que vous vous demandez: "Dans quelle mesure suis-je proche d'être optimal", ou "Dans quelle mesure suis-je proche d'une sorte de limite (en prenant la plus étroite possible)"?

— Norbert Schuch, le

@ user1271772 C'est correct.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Permettez-moi d'abord de répondre à la question générale comment obtenir une vitesse de Lieb-Robinson (LR) raisonnablement serrée lorsque vous faites face à un modèle de réseau générique à interaction locale, puis je reviendrai sur le modèle 1D XY dans votre question, qui est très spécial pour être exactement soluble.

Méthode générale

La méthode pour obtenir la limite la plus stricte à ce jour (pour un modèle interactif générique à courte portée) est présentée dans Ref1 = arXiv: 1908.03997 . L'idée de base est que la norme du commutateur à temps inégauxentre des opérateurs locaux arbitraires peut être limité par la solution d'un ensemble d'équations différentielles linéaires du premier ordre vivant sur le graphe de commutativité du modèle. Le graphe de commutativité, tel qu'introduit dans la section II A de Ref1, peut être facilement tiré du modèle hamiltonien , et est conçu pour refléter les relations de commutation entre les différents opérateurs locaux présentés dans $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ . Dans les systèmes invariants de translation, cet ensemble d'équations différentielles peut être facilement résolu par une transformée de Fourier, et une limite supérieure de la vitesse LR peut être calculée à partir de la plus grande fréquence propre utilisant Eq. (31) de Ref1 . Dans la suite, j'appliquerai cette méthode au modèle 1D XY comme exemple pédagogique. Par souci de simplicité, je me concentrerai sur le cas indépendant du temps et invariant de la traduction , (la limite résultante ne dépend pas des signes de $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ). Pour le cas de traduction non invariable et dépendant du temps, vous pouvez soit résoudre l'équation différentielle numériquement (ce qui est une tâche de calcul facile pour des systèmes de milliers de sites), soit utiliser une borne supérieure globale et continuez à utiliser la méthode ci-dessous (mais cela compromet légèrement l'étanchéité par rapport à la méthode numérique). $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

Tout d'abord, nous dessinons le graphique de commutativité, comme ci-dessous. Chaque opérateur de l'hamiltonien ~ ( , , ) est représenté par un sommet, et nous deux sommets si et seulement si les opérateurs correspondants ne font pas la navette ( ou, dans le cas présent, anti-navettage). $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
Notez ensuite les équations différentielles Eq. (10) de Ref1 :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Fourier transformant l'équation ci-dessus, nous avons Les fréquences propres sont . La vitesse LR est donnée par l'équation (31) de Ref1 : où
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Remarque: Cette limite diverge lorsque , tandis que la vitesse de propagation des informations physiques reste limitée. Nous pouvons nous débarrasser de ce problème en utilisant la méthode de la Sec. VI de Ref1 . Le résultat est dans cette limite, où est défini comme la solution de l'équation . $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

Limites de vitesse pour certains modèles classiques

La méthode ci-dessus est complètement générale. Si vous souhaitez en savoir plus, j'ai répertorié les limites de vitesse pour certains modèles classiques dans le tableau suivant, obtenues de manière similaire. Notez que la vitesse LR est limitée par la plus petite de toutes les expressions répertoriées (donc dans différentes régions de paramètres, différentes expressions doivent être utilisées). La fonction est définie comme la plus grande racine deTous les paramètres sont supposés positifs (il suffit de prendre la valeur absolue pour les cas négatifs). $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

Quant à la qualité de ces bornes, je n'ai pas enquêté en général, mais pour le TFIM 1D au point critique , la solution exacte donne , tandis que la borne ci-dessus donne . De même, au point de FH et au point de Heisenberg XYZ, les limites ci-dessus sont toutes plus grandes que la solution exacte d'un facteur . [En fait, à ces points spéciaux, les deux derniers sont équivalents à des chaînes découplées de TFIM, comme on peut le juger directement à partir de leur graphe de commutativité.] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

Limite plus serrée pour 1D XY par mappage sur des fermions libres

Parlons maintenant davantage du modèle 1D XY. Comme vous l'avez remarqué, il est exactement résoluble en mappant sur des fermions libres: Pour le général vous devez résoudre le problème des fermions libres numériquement, mais permettez-moi de mentionner deux cas spéciaux qui sont analytiquement traitables.

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ sont fixes et invariants en translation. La solution exacte est alors où est la fonction de Bessel d'ordre. La vitesse LR est donc .
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ sont fixes dans le temps mais sont complètement aléatoires (trouble éteint). Ensuite, en raison de la localisation à plusieurs corps (ou de la localisation d'Anderson dans l'image du fermion), les informations ne se propagent pas dans ce système, donc . Plus rigoureusement, dans arXiv: quant-ph / 0703209 , la borne suivante est prouvée pour les cas désordonnés: avec un cône lumineux logarithmique décélérant . $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Lagrenge
source

Dois-je déduire de ce que vous dites que pour chaque modèle (y compris ceux sans invariance de translation) avec , que la vitesse est ?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie

@DaftWullie Non, vous ne pouvez utiliser qu'une limite supérieure globale pour les paramètres de la méthode générale, car la méthode générale donne toujours une limite strictement non décroissante dans la valeur absolue de tout coefficient. La borne est obtenue à partir de la solution exacte de fermion libre, dans laquelle vous ne pouvez pas utiliser une borne supérieure globale pour les paramètres et devez résoudre au cas par cas. Si le est invariant par rapport à la traduction, alors vous pouvez définir dans la méthode générale puisque le terme commute avec , et obtenez .

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Lagrenge

@DaftWullie Cher DaftWullie, si vous pensez que quelque chose manque encore dans ma réponse, ou si un point n'est toujours pas clair, faites-le moi savoir.

— Lagrenge

la réponse semble potentiellement utile. Je n'ai pas encore eu le temps de regarder votre article (cela peut prendre quelques semaines). En supposant que je comprends tout OK, c'est le point que j'accepterai votre réponse.

— DaftWullie