# Si toutes les portes quantiques doivent être unitaires, qu'en est-il de la mesure?

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Toutes les opérations quantiques doivent être unitaires pour permettre la réversibilité, mais qu'en est-il de la mesure? La mesure peut être représentée comme une matrice, et cette matrice est appliquée aux qubits, ce qui semble équivalent au fonctionnement d'une porte quantique. Ce n'est définitivement pas réversible. Y a-t-il des situations où des portes non unitaires pourraient être autorisées?

Réponses:

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Les opérations unitaires ne sont qu'un cas particulier des opérations quantiques , qui sont des cartes linéaires complètement positives («canaux») qui mappent les opérateurs de densité aux opérateurs de densité. Cela devient évident dans la représentation Kraus du canal, où les soi-disant opérateurs Kraus remplissent ( notation

$\mathrm{\Phi }\left(\rho \right)=\sum _{i=1}^{n}{K}_{i}\rho {K}_{i}^{†},$
${K}_{i}$$K_i$$\sum _{i=1}^{n}{K}_{i}^{†}{K}_{i}\le \mathbb{I}$$\sum_{i=1}^n K_i^\dagger K_i\leq \mathbb{I}$). Souvent, on ne considère que les opérations quantiques préservant les traces, pour lesquelles l'égalité dans l'inégalité précédente est valable. Si en plus il n'y a qu'un seul opérateur Kraus (donc ), alors nous voyons que l'opération quantique est unitaire. $n=1$$n=1$

Cependant, les portes quantiques sont unitaires, car elles sont implémentées via l'action d'un hamiltonien pour un temps spécifique, ce qui donne une évolution temporelle unitaire selon l'équation de Schrödinger.

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+1 Everyone interested in quantum mechanics (not just quantum information) should know about quantum operations e.g. from Nielsen and Chuang. I think it is worth mentioning (since the Wikipedia page on Stinespring dilation is too technical) that every finite-dimensional quantum operation is mathematically equivalent to some unitary operation in a larger Hilbert space followed by a restriction to the subsystem (by the partial trace).
Ninnat Dangniam

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Quantum operations do not need to be unitary. In fact, many quantum algorithms and protocols make use of non-unitarity.

Les mesures sont sans doute l'exemple le plus évident de transitions non unitaires étant une composante fondamentale des algorithmes (dans le sens qui est équivalente à l' échantillonnage de la distribution de probabilité obtenu une « mesure » après l'opération de décohésion ).$\sum _{k}{c}_{k}|k⟩↦\sum _{k}|{c}_{k}{|}^{2}|k⟩⟨k|$$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Plus généralement, tout algorithme quantique comportant des étapes probabilistes nécessite des opérations non unitaires. Un exemple notable qui vient à l'esprit est l'algorithme de HHL09 pour résoudre des systèmes d'équations linéaires (voir 0811.3171 ). Une étape cruciale de cet algorithme est le mappage , où sont les vecteurs propres de certains opérateurs. Cette cartographie est nécessairement probabiliste et donc non unitaire.$|{\lambda }_{j}⟩↦C{\lambda }_{j}^{-1}|{\lambda }_{j}⟩$$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|{\lambda }_{j}⟩$$|\lambda_j\rangle$

Tout algorithme ou protocole qui utilise la rétroaction (classique) utilise également des opérations non unitaires. Il s'agit de l'ensemble des protocoles de calcul quantique unidirectionnel (qui, comme leur nom l'indique, nécessitent des opérations non réversibles).

Les schémas les plus notables pour le calcul quantique optique avec des photons uniques nécessitent également des mesures et parfois une post-sélection pour embrouiller les états de différents photons. Par exemple, le protocole KLM produit des portes probabilistes, qui sont donc au moins en partie non réversibles. Une bonne critique sur le sujet est quant-ph / 0512071 .

Des exemples moins intuitifs sont fournis par l'ingénierie d'état quantique induite par la dissipation (par exemple 1402.0529 ou srep10656 ). Dans ces protocoles, on utilise une dynamique dissipative à carte ouverte, et on conçoit l'interaction de l'état avec l'environnement de telle sorte que l'état stationnaire à long terme du système soit celui souhaité.

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Au risque de sortir du sujet de l'informatique quantique et de la physique, je vais répondre à ce que je pense être une sous-question pertinente de ce sujet, et l'utiliser pour éclairer la discussion des portes unitaires dans l'informatique quantique.

La question ici est: pourquoi voulons-nous l'unité dans les portes quantiques?

La réponse moins spécifique est comme ci-dessus, elle nous donne une «réversibilité», ou comme les physiciens en parlent souvent, un type de symétrie pour le système. Je prends un cours en mécanique quantique en ce moment, et la façon dont les portes unitaires recadrée dans ce cours a été motivée par le désir d'avoir des transformations physiques : qui agissent comme symétries. Cela impose deux conditions sur la transformation :$\stackrel{^}{U}$$\hat{U}$$\stackrel{^}{U}$$\hat{U}$

1. Les transformations doivent agir linéairement sur l'état (c'est ce qui nous donne une représentation matricielle).
2. Les transformations doivent préserver la probabilité, ou plus spécifiquement le produit intérieur . Cela signifie que si nous définissons:

$|{\psi }^{\prime }⟩=U|\psi ⟩,|{\varphi }^{\prime }⟩=U|\varphi ⟩$

Preservation of inner product means that $⟨\varphi ||\psi ⟩=⟨{\varphi }^{\prime }||{\psi }^{\prime }⟩$$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$. From this second specification, unitarity can be derived (for full details see Dr. van Raamsdonk's notes here).

So this answers the question of why operations that keep things "reversible" have to be unitary.

La question de savoir pourquoi la mesure elle-même n'est pas unitaire est davantage liée au calcul quantique. Une mesure est une projection sur une base; en substance, il doit "répondre" avec un ou plusieurs états de base en tant qu'Etat lui-même. Il quitte également l'état d'une manière qui est cohérente avec la "réponse" à la mesure, et non cohérente avec les probabilités sous-jacentes avec lesquelles l'état a commencé. Donc, l'opération satisfait la spécification 1. de notre transformation , mais ne satisfait définitivement pas la spécification 2. Toutes les matrices ne sont pas créées égales!$U$$U$

Pour en revenir au calcul quantique, le fait que les mesures sont destructives et projectives (c'est-à-dire que nous ne pouvons reconstruire la superposition que par des mesures répétées d'états identiques, et chaque mesure ne nous donne qu'une réponse 0/1), fait partie de ce qui fait que la séparation entre l'informatique quantique et l'informatique régulière subtile (et une partie de la raison pour laquelle il est difficile de le préciser). On pourrait supposer que l'informatique quantique est plus puissante en raison de la simple taille de l'espace de Hilbert, avec toutes ces superpositions d'états à notre disposition. Mais notre capacité à extraire ces informations est très limitée.

As far as I understand it this shows that for information storage purposes, a qubit is only as good as a regular bit, and no better. But we can be clever in quantum computation with the way that information is traded around, because of the underlying linear-algebraic structure.

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I find the last paragraph a bit cryptic. What do you mean by "slippery" separation here? It is also non-obvious how the fact that measurements are destructive implies something about such separation. Could you clarify these points?
glS

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@glS, good point, that was worded poorly. Does this help? I don't think I'm saying anything particularly deep, simply that Hilbert space size alone isn't a priori what makes quantum computation powerful (and it doesn't give us any information storage advantages)
Emily Tyhurst

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There are several misconceptions here, most of them originate from exposure to only the pure state formalism of quantum mechanics, so let's address them one by one:

1. All quantum operations must be unitary to allow reversibility, but what about measurement?

This is false. In general, the states of a quantum system are not just vectors in a Hilbert space $\mathcal{H}$$\mathcal{H}$ but density matrices $-$$-$ unit-trace, positive semidefinite operators acting on the Hilbert space $\mathcal{H}$$\mathcal{H}$ i.e., $\rho :\mathcal{H}\to \mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$, $Tr\left(\rho \right)=1$$Tr(\rho) = 1$, and $\rho \ge 0$$\rho \geq 0$ (Note that the pure state vectors are not vectors in the Hilbert space but rays in a complex projective space; for a qubit this amounts to the Hilbert space being $\mathbb{C}{P}^{1}$$\mathbb{C}P^1$ and not ${\mathbb{C}}^{2}$$\mathbb{C}^2$). Les matrices de densité sont utilisées pour décrire un ensemble statistique d'états quantiques.

${\rho }^{2}=\rho$$\rho^2 = \rho$${\rho }^{2}<\rho$$\rho^2 < \rho$. Once we are dealing with a pure state density matrix (that is, there's no statistical uncertainty involved), since ${\rho }^{2}=\rho$$\rho^2 = \rho$, the density matrix is actually a projection operator and one can find a $|\psi ⟩\in \mathcal{H}$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ such that $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$.

The most general quantum operation is a CP-map (completely positive map), i.e., $\mathrm{\Phi }:L\left(\mathcal{H}\right)\to L\left(\mathcal{H}\right)$$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$ such that

$\mathrm{\Phi }\left(\rho \right)=\sum _{i}{K}_{i}\rho {K}_{i}^{†};\sum _{i}{K}_{i}^{†}{K}_{i}\le \mathbb{I}$
(if $\sum _{i}{K}_{i}^{†}{K}_{i}=\mathbb{I}$$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$ then these are called CPTP (completely positive and trace-preserving) map or a quantum channel) where the $\left\{{K}_{i}\right\}$$\{K_i\}$ are called Kraus operators.

Now, coming to the OP's claim that all quantum operations are unitary to allow reversibility -- this is just not true. The unitarity of time evolution operator (${e}^{-iHt/\hslash }$$e^{-iHt/\hbar}$) in quantum mechanics (for closed system quantum evolution) is simply a consequence of the Schrödinger equation.

However, when we consider density matrices, the most general evolution is a CP-map (or CPTP for a closed system to preserve the trace and hence the probability).

1. Are there any situations where non-unitary gates might be allowed?

Yes. An important example that comes to mind is open quantum systems where Kraus operators (which are not unitary) are the "gates" with which the system evolves.

Note that if there is only a single Kraus operator then, $\sum _{i}{K}_{i}^{†}{K}_{i}=\mathbb{I}$$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$. But there's only one $i$$i$, therefore, we have, ${K}^{†}K=\mathbb{I}$$K^\dagger K = \mathbb{I}$ or, $K$$K$ is unitary. So the system evolves as $\rho \to U\rho {U}^{†}$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (which is the standard evolution that you may have seen before). However, in general, there are several Kraus operators and therefore the evolution is non-unitary.

Coming to the final point:

1. Measurement can be represented as a matrix, and that matrix is applied to qubits, so that seems equivalent to the operation of a quantum gate. That's definitively not reversible.

In standard quantum mechanics (with wavefunctions etc.), the system's evolution is composed of two parts $-$$-$ a smooth unitary evolution under the system's Hamiltonian and then a sudden quantum jump when a measurement is made $-$$-$ also known as wavefunction collapse. Wavefunction collapses are described as some projection operator say $|\varphi ⟩⟨\varphi |$$|\phi\rangle \langle\phi|$ acting on the quantum state $|\psi ⟩$$|\psi\rangle$ and the $|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^{2}$$|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ gives us the probability of finding the system in the state $|\varphi ⟩$$|\phi\rangle$ after the measurement. Since the measurement operator is after all a projector (or as the OP suggests, a matrix), shouldn't it be linear and physically similar to the unitary evolution (also happening via a matrix). This is an interesting question and in my opinion, difficult to answer physically. However, I can shed some light on this mathematically.

If we are working in the modern formalism, then measurements are given by POVM elements; Hermitian positive semidefinite operators, $\left\{{M}_{i}\right\}$$\{M_{i}\}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$$\mathcal{H}$ that sum to the identity operator (on the Hilbert space) $\sum _{i=1}^{n}{M}_{i}=\mathbb{I}$$\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}\left({E}_{i}\rho {E}_{i}^{†}\right)=:{p}_{i}$$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being ${M}_{i}$$M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \to {E}_{i}\rho {E}_{i}^{†}$$\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on ${p}_{i}$$p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

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Measurement is usually taken as a postulate of quantum mechanics. There's usually some preceding postulates about hilbert spaces, but following that

• Every measurable physical quantity $A$$A$ is described by an operator $\stackrel{^}{A}$$\hat{A}$ acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$$\mathcal{H}$. This operator is called an observable, and it's eigenvalues are the possibly outcomes of a measurement.
• If a measurement is made of the observable $A$$A$, in the state of the system $\psi$$\psi$, and the outcome is ${a}_{n}$$a_n$, then the state of the system immediately after measurement is
$\frac{{\stackrel{^}{P}}_{n}|\psi ⟩}{‖{\stackrel{^}{P}}_{n}|\psi ⟩‖},$
where ${\stackrel{^}{P}}_{n}$$\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue ${a}_{n}$$a_n$.

Normally the projection operators themselves should satisfy ${\stackrel{^}{P}}^{†}=\stackrel{^}{P}$$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and ${\stackrel{^}{P}}^{2}=\stackrel{^}{P}$$\hat{P}^2=\hat{P}$, which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$$1$ or $0$$0$. Supposing we take one of the ${\stackrel{^}{P}}_{n}$$\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$$1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity ${a}_{n}$$a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi ⟩$$|\psi\rangle$.

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Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

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Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

1. All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.

2. There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.

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Why would errors be "quantum"?
Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Some errors could come in the form of the environment "measuring" the state, which could be considered classical in the language of this user, but other errors may come in the form of rotations/transformations in the Bloch sphere which don't make sense classically. Certainly you need to do full quantum dynamics if you want to model decoherence exactly (non-Markovian and non-perturbative ideally, but even Markovian master equations are quantum).
user1271772

Surely not all errors are 'quantum', but I meant to say that all 'quantum errors' (${\sigma }_{x},{\sigma }_{y},{\sigma }_{z}$$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ and their linear combinations) are unitary. Please correct me if I am wrong, thanks.
alphaQuant

To be more precise, errors which are taken care of by QECCs.
alphaQuant

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I guess I'm not sure what "quantum" and "classical" means. What would a CP map qualify as?
Norbert Schuch
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