Étant donné une décomposition pour un

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Supposons que nous ayons une décomposition en circuit d'un unitaire en $U$ utilisant un ensemble de portes universel (par exemple des portes CNOT et des unitaires à qubit unique). Existe-t-il un moyen direct d'écrire le circuit du unitaire contrôlé correspondant en $C_U$ utilisant le même jeu de portes universel?

Par exemple, prenons $U=i Y = H X H X$ , comme circuit:

On peut remplacer les portes $X$ par des portes $C_X$ (CNOT) pour obtenir $C_U$ :

Cela fonctionne parce que si le qubit de contrôle est dans l'état l'action sur la cible est , tandis que pour il applique le circuit de . Pour différents , en particulier s'il agit sur plusieurs qubits, la mise au point d'un tel circuit peut être fastidieuse. Existe-t-il une recette pour obtenir le circuit de étant donné que vous savez comment construire ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
source

demandez-vous comment construire une CU à partir d'un U arbitraire à un qubit? Une méthode pour ce faire peut être trouvée dans le chapitre 4 de N&C (voir par exemple la figure 4.6 dans la dernière édition), qui est fondamentalement la généralisation de la décomposition que vous avez montrée

— glS

@glS oh wow, je n'étais pas au courant de ça. Ressemble exactement à mon exemple. Bon de voir comment il met en œuvre la phase

. Mais ils ne semblent pas discuter de la généralisation à plus de qubits cibles?

α

$\alpha$

— M. Stern

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La question n'est peut-être pas entièrement bien définie, en ce sens que pour demander un moyen de calculer partir d'une décomposition de vous devez spécifier l'ensemble de portes que vous êtes prêt à utiliser. En effet, c'est un résultat connu que toute porte à qubits peut être exactement décomposée à l'aide d'opérations et à qubit unique, de sorte qu'une réponse naïve à la question serait: décomposer simplement aide de qubit simple et de . $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Une autre interprétation de la question est la suivante: étant donné , puis - je calculer en utilisant un ensemble d'opérations mono-qubit et s pas sur le qubit de commande , et s avec la commande étant le premier qubit? Cela peut être fait en généralisant un résultat trouvé dans le chapitre quatre de Nielsen & Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Soit une porte à qubit unique. On peut alors prouver que peut toujours s'écrire , où est la porte Pauli X, et et sont des opérations à qubit unique telles que ( voir N&C pour une preuve). Il s'ensuit que $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ où est une porte de phase appliquée au premier qubit, et sont appliqué au deuxième qubit. C'est immédiat une fois que vous vous rendez compte que, si ce premier qubit est , alors

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ devient une identité, et sur le deuxième qubit vous avez les opérations

, qui donnent l'identité. En revanche, si le premier qubit est

, puis sur le deuxième rail vous

, qui ( en même temps que la phase) est égal à

par définition.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

La décomposition ci-dessus peut être utilisée pour trouver un moyen naïf de calculer pour une porte unitaire générale à bits. L'observation principale est que si pour un ensemble de portes , puis $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Mais nous savons également que tout qubitpeut être décomposé en termes de CNOT et d'opérations à qubit unique. Il s'ensuit que est une séquence d'opérations CCNOT et , où CCNOT est ici uneporte appliquée à un qubit conditionné à deux autres qubits étant , et est une opération simple qubit sur certains qubit. Mais encore une fois, toute opération CCNOT (également appeléeToffoli), peut être décomposée comme le montre la figure 4.9 dans N&C, et le

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ sont décomposés comme indiqué dans la première partie de la réponse.

Cette méthode permet de décomposer une porte unitaire générale à bits en utilisant uniquement des portes et à un seul bit. Vous pouvez ensuite aller plus loin et généraliser ceci pour trouver une décomposition pour le cas de qubits de contrôle multiples. Pour cela, vous n'avez maintenant besoin que d'un moyen de décomposer les portes de Toffoli, qui se trouve à nouveau dans la figure 4.9 de N&C. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
source

Je pense que c'est ce que je cherchais. Juste pour être sûr: Disons que la décomposition connue

contient

et des portes à qubit unique. Ensuite, pour les portes à qubit unique, nous remplaçons

par

, qui est construit en suivant la description dans N&C. Et les

sont remplacés par des portes Toffoli (qui pourraient également être décomposées). Droite?

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

— M. Stern

@ M.Stern bien presque. Si

contient un

(qui serait plus précisément un

, agissant entre

-th et

-th qubit, avec

), alors la porte équivalente en

est déjà une porte Toffoli, avec les premier et

qubits comme contrôle et

-th qubit comme cible. Vous pouvez donc aller remplacer le Toffolis en utilisant les décompositions connues

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

— glS

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Bien que cela puisse ne pas répondre complètement à votre question, je pense que cela pourrait fournir une certaine direction de réflexion. Voici deux faits importants:

N'importe quelle matrice unitaire peut être réalisée sur un ordinateur quantique avec bits quantaux par une séquence finie de portes non contrôlées et à qubit unique ¹ . $2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
Supposons que soit une matrice unitaire satisfaisant , et . Ensuite, six portes élémentaires sont nécessaires et suffisantes pour mettre en œuvre une porte contrôlée ² . $U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

Il devrait être possible d'étendre le deuxième cas au cas général , étant donné le premier point, bien que je n'ai trouvé aucun document qui le fasse explicitement. $n\times n$

1 Portes élémentaires pour le calcul quantique-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Réalisations optimales de portes unitaires contrôlées - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
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