Quelle est la justification mathématique de «l'universalité» de l'ensemble universel de portes quantiques (CNOT, H, Z, X et π / 8)?

Dans cette réponse, j'ai mentionné que les portes CNOT, H, X, Z et forment un ensemble universel de portes, qui, en nombre suffisant de portes, peuvent se rapprocher arbitrairement de la réplication de toute porte quantique unitaire (j'ai appris cela fait des conférences EdX du professeur Umesh Vazirani). Mais y a-t-il une justification mathématique à cela? Il devrait y avoir! J'ai essayé de chercher des documents pertinents mais je n'ai pas trouvé grand-chose. $\pi/8$

quantum-gate universal-gates gate-synthesis

— Sanchayan Dutta
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Réponses:

La réponse que vous mentionnez fait référence au livre de Michael Nielsen et Isaac Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press), qui contient une preuve de l'universalité de ces portes. (Dans mon édition 2000, cela se trouve à la p. 194.) L'idée clé est que la porte (ou porte ), avec la porte , génère deux rotations différentes sur la sphère Bloch avec des angles qui sont multiples irrationnels de . Cela permet à des combinaisons de portes et de remplir de manière dense la surface de la sphère de Bloch et d'approcher ainsi n'importe quel opérateur unitaire à un qubit. $T$ $\pi/8$ $H$ $2\pi$ $T$ $H$

Le théorème de Solovay-Kitaev montre que cela peut être fait efficacement . Ici, "efficacement" signifie polynôme dans , où est la précision souhaitée. Cela est également prouvé dans le livre de Nielsen et Chuang (annexe 3 dans l'édition 2000). Une construction explicite peut être trouvée dans https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 . $\log(1/\epsilon)$ $\epsilon$

La combinaison des portes CNOT permet d'approcher des unités arbitraires à plusieurs qubits, comme le montrent Barenco et al. dans Phys. Rev. A 52 3457 (1995). (Une préimpression de ce document peut être trouvée à https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 .) Ceci est également discuté dans Nielsen et Chuang (p. 191 dans l'édition 2000).

— Brian R. La Cour
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On peut obtenir un résultat encore plus fort en utilisant Kliuchnikov, Maslov et Mosca prouvé dans Giles Selinger .

— AHusain

Vous ne même pas besoin et . , et suffisent. $Z$ $X$
$\rm{CNOT}$ $H$ $T=\pi/8$

$H$ $T$
$\rm{CNOT}$ $\epsilon>0$ $\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$ $\pi/2$ , il est toujours possible , si et seulement si les éléments de l'unité que vous souhaitez réaliser sont de la forme: $\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$ , où toutes les variables sont des entiers. Remarquablement, au plus 1 qubit auxiliaire est requis pour cette synthèse exacte.

Un autre ensemble de portes universelles est $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ , and in fact there's a single gate that's uniersal: the 3-qubit Deutsch gate ${D(\theta)}$ .

— user1271772
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CCNOT+H is universal in a different sense, though: It is computationally universal, but it cannot realize any gate.

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Is the only problem with CCNOT+H, the fact that it can't realize 2-qubit gates? Isn't that also a problem with the Deutsch gate? If a gate set can simulate any quantum computation with arbitrary

ϵ > 0

$\epsilon>0$ , then surely it can simulate any quantum gate with arbitrary

ϵ > 0

$\epsilon>0$ ?

— user1271772

Nan. Il ne peut réaliser aucune porte avec des coefficients complexes (= non réels), pour des raisons évidentes. Il est universel sur le plan du calcul , c'est-à-dire qu'il peut exécuter n'importe quel q. calcul, mais il ne le fait pas en mettant en œuvre un à un lesdites portes, mais une réalisation équivalente. Donc, si vous voulez réaliser des unitaires (ce qui semble être le point de la question), ce n'est pas un ensemble de portes universel.

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch: Un exemple de calcul quantique simule un complexe unitaire. Donc, si CCNOT + H peut faire n'importe quel q. calcul, ne peut-il pas se rapprocher arbitrairement d'une simulation unitaire?

— user1271772

Both CCNOT and H have only real entries. There is NO WAY you will get ANY gate with complex entries. --- More generally, there are (at least) 3 notions of "simulation": Get any unitary, get the measurement statistics of a quantum computer, or solve a BQP problem. CCNOT+H is universal in the 2nd (and 3rd) sense, but not in the first one.

— Norbert Schuch