( L'honnêteté et l'intégrité mathématique - étant donné le nombre de votes sur cette "réponse" - m'ont amené à modifier cette réponse. toute explication semblait contraire à l'objectif. Cependant, les commentaires indiquent clairement que je devrais être clair pour éviter tout malentendu. )
Ma réponse originale:
Le libellé de cette partie de la spécification:
Si c'est 0, je veux le mettre à 1, sinon le mettre à 0.
implique que la solution la plus précise est:
v = dirac_delta(0,v)
Tout d' abord, la confession: je ne reçois mes fonctions delta confus. Le delta de Kronecker aurait été légèrement plus approprié, mais pas autant que je voulais quelque chose qui était indépendant du domaine (le delta de Kronecker est principalement utilisé uniquement pour les entiers). Mais je n'aurais vraiment pas dû utiliser les fonctions delta du tout, j'aurais dû dire:
v = characteristic_function({0},v)
Permettez-moi de clarifier. Rappelons que la fonction est une triple, (X, Y, f) , où X et Y sont des ensembles (appelés le domaine et codomaine respectivement) et f est une règle qui attribue un élément de Y à chaque élément de X . Nous écrivons souvent le triple (X, Y, f) comme f: X → Y . Étant donné un sous-ensemble de X , disons A , il existe une fonction caractéristique qui est une fonction χ A : X → {0,1}(il peut également être considéré comme une fonction d'un plus grand codomaine tel que ℕ ou ℝ). Cette fonction est définie par la règle:
χ A (x) = 1 si x ∈ A et χ A (x) = 0 si x ∉ A .
Si vous aimez les tables de vérité, c'est la table de vérité pour la question "L'élément x de X est-il un élément du sous-ensemble A ?".
Donc, d'après cette définition, il est clair que la fonction caractéristique est ce qui est nécessaire ici, avec X un grand ensemble contenant 0 et A = {0} . Voilà ce que j'aurais dû écrire.
Et donc aux fonctions delta. Pour cela, nous devons connaître l'intégration. Soit vous le savez déjà, soit vous ne le savez pas. Si vous ne le faites pas, rien de ce que je peux dire ici ne vous dira les subtilités de la théorie, mais je peux donner un résumé d'une phrase. Une mesure sur un ensemble X est par essence "celle qui est nécessaire pour que les moyennes fonctionnent". C'est-à-dire que si nous avons un ensemble X et une mesure μ sur cet ensemble alors il y a une classe de fonctions X → ℝ , appelées fonctions mesurables pour lesquelles l'expression ∫ X f dμ a un sens et est, dans un sens vague, la « moyenne » de f sur X .
Étant donné une mesure sur un ensemble, on peut définir une "mesure" pour des sous-ensembles de cet ensemble. Cela se fait en affectant à un sous-ensemble l'intégrale de sa fonction caractéristique (en supposant qu'il s'agit d'une fonction mesurable). Cela peut être infini ou indéfini (les deux sont subtilement différents).
Il existe de nombreuses mesures, mais deux sont importantes ici. L'un est la mesure standard sur la droite réelle, ℝ. Pour cette mesure, alors ∫ ℝ f dμ est à peu près ce qu'on vous enseigne à l'école (le calcul est-il toujours enseigné dans les écoles?): Résumez de petits rectangles et prenez des largeurs de plus en plus petites. Dans cette mesure, la mesure d'un intervalle est sa largeur. La mesure d'un point est 0.
Une autre mesure importante, qui fonctionne sur n'importe quel ensemble, est appelée la mesure ponctuelle . Elle est définie de telle sorte que l'intégrale d'une fonction soit la somme de ses valeurs:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Cette mesure attribue à chaque ensemble singleton la mesure 1. Cela signifie qu'un sous-ensemble a une mesure finie si et seulement s'il est lui-même fini. Et très peu de fonctions ont une intégrale finie. Si une fonction a une intégrale finie, elle doit être non nulle uniquement sur un nombre dénombrable de points. Ainsi, la grande majorité des fonctions que vous connaissez probablement n'ont pas d'intégrale finie dans le cadre de cette mesure.
Et maintenant aux fonctions delta. Prenons une définition très large. Nous avons un espace mesurable (X, μ) (donc c'est un ensemble avec une mesure sur elle) et un élément a ∈ X . Nous «définissons» la fonction delta (en fonction de a ) comme étant la «fonction» δ a : X → ℝ avec la propriété que δ a (x) = 0 si x ≠ a et ∫ X δ a dμ = 1 .
Le fait le plus important à ce sujet est le suivant: La fonction delta n'a pas besoin d'être une fonction . Elle n'est pas correctement définie: je n'ai pas dit ce qu'est δ a (a) .
Ce que vous faites à ce stade dépend de qui vous êtes. Le monde ici se divise en deux catégories. Si vous êtes mathématicien, vous dites ce qui suit:
D'accord, la fonction delta pourrait ne pas être définie. Examinons ses propriétés hypothétiques et voyons si nous pouvons lui trouver un logement approprié là où il est défini. Nous pouvons le faire et nous nous retrouvons avec des distributions . Ce ne sont pas (nécessairement) des fonctions, mais ce sont des choses qui se comportent un peu comme des fonctions, et souvent nous pouvons travailler avec elles comme s'il s'agissait de fonctions; mais il y a certaines choses qu'ils n'ont pas (comme les "valeurs") donc nous devons être prudents.
Si vous n'êtes pas mathématicien, vous dites ce qui suit:
D'accord, la fonction delta n'est peut-être pas correctement définie. Qui le dit? Un tas de mathématiciens? Ignore les! Que savent-ils?
Ayant maintenant offensé mon public, je vais continuer.
Le delta dirac est généralement considéré comme la fonction delta d'un point (souvent 0) dans la ligne réelle avec sa mesure standard. Donc, ceux qui se plaignent dans les commentaires que je ne connais pas mes deltas le font parce qu'ils utilisent cette définition. Pour eux, je m'excuse: bien que je puisse y échapper en utilisant la défense du mathématicien (telle que popularisée par Humpty Dumpty : redéfinissez simplement tout pour que ce soit correct), c'est une mauvaise forme d'utiliser un terme standard pour signifier quelque chose de différent.
Mais il y a une fonction delta qui fait ce que je veux et c'est ce dont j'ai besoin ici. Si je prends une mesure ponctuelle sur un ensemble X alors il y a une véritable fonction δ a : X → ℝ qui satisfait les critères d'une fonction delta. En effet, nous recherchons une fonction X → ℝ qui est nulle sauf en a et telle que la somme de toutes ses valeurs soit 1. Une telle fonction est simple: la seule information manquante est sa valeur en a , et pour que la somme soit 1, il suffit de lui attribuer la valeur 1. Ce n'est autre que la fonction caractéristique sur {a} . Alors:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Donc dans ce cas, pour un ensemble singleton, la fonction caractéristique et la fonction delta s'accordent.
En conclusion, il existe ici trois familles de "fonctions":
- Les fonctions caractéristiques des ensembles singleton,
- Les fonctions delta,
- Les fonctions delta de Kronecker.
Le second d'entre eux est le plus général car l'un des autres en est un exemple lors de l'utilisation de la mesure ponctuelle. Mais le premier et le troisième ont l'avantage d'être toujours de véritables fonctions. Le troisième est en fait un cas particulier du premier, pour une famille particulière de domaines (entiers, ou un sous-ensemble de ceux-ci).
Alors, enfin, quand je l' origine écrit la réponse que je n'étais pas pensé correctement (je n'irais pas jusqu'à dire que je confus , comme je l' espère , je viens démontrais je ne sais de quoi je parle quand En fait, je pense d'abord, je ne pensais pas beaucoup). Le sens habituel du delta dirac n'est pas ce que l'on veut ici, mais l'un des points de ma réponse était que le domaine d'entrée n'était pas défini, de sorte que le delta Kronecker n'aurait pas non plus eu raison. Ainsi, la meilleure réponse mathématique (que je visais) aurait été la fonction caractéristique .
J'espère que tout cela est clair; et j'espère aussi que je n'aurai plus jamais à écrire un morceau mathématique en utilisant des entités HTML au lieu des macros TeX!