Ce n'est pas très difficile, il suffit de penser petit: supposons que nous écrivons A
, B
et X
en binaire, et que Aᵢ
la valeur corresponde au bit 2 most le plus à droite .
Nous savons que: Aₒ ⊕ Xₒ = Bₒ + Xₒ
.
Prenons un exemple pour découvrir comment évaluer cela: A = 15 et B = 6. Conversion en binaire:
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 0
X = a b c d X = a b c d
Maintenant, nous avons quelques possibilités. Analysons les bits les plus à droite de A et B:
1 ⊕ d = 0 + d
Nous savons que d
cela ne peut être que 0 ou 1, donc:
for d = 0
1 ⊕ d = 0 + d => 1 ⊕ 0 = 0 + 0 => 1 = 0 (not possible)
for d = 1
1 ⊕ d = 0 + d => 1 ⊕ 1 = 0 + 1 => 0 = 1 (not possible)
Il est à noter que XOR se comporte comme une somme binaire (à la différence près que XOR ne crée pas de report pour la somme de bits suivante):
XOR SUM
0 ⊕ 0 = 0 | 0 + 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1 | 0 + 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1 | 1 + 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0 | 1 + 1 = 0
il ne sera donc pas toujours possible de trouver un X satisfaisant A ⊕ X = B + X
, car il n'y a pas de valeur d
satisfaisante 1 + d = 0 + d
.
Quoi qu'il en soit, si X existe, vous pouvez simplement le découvrir de cette façon, de droite à gauche, en le recherchant petit à petit.
EXEMPLE DE TRAVAIL COMPLET
A = 15, B = 7:
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b c d X = a b c d
1 ⊕ d = 1 + d
Ici, d = 0 et d = 1 s'appliquent, alors quoi? Nous devons vérifier le bit suivant. Supposons que d = 1:
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b c d X = a b c d
1 ⊕ d = 1 + d => 1 ⊕ 1 = 1 + 1 => 0 = 0 (possible)
BUT 1 + 1 = 0 generates a carryover for the next bit sum:
Instead of 1 ⊕ c = 1 + c, we have 1 ⊕ c = 1 + c (+1) =
1 ⊕ c = c (not possible)
dans ce cas, d doit être égal à 0.
carryover 0
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b 0 0 X = a b 0 0
-----------------------------------
0 0
we know that c must be 0:
carryover 0 0
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a b 0 0 X = a b 0 0
-----------------------------------
1 1 1 1
mais qu'en est-il de b? nous devons vérifier le bit suivant, comme toujours:
if b = 0, there won't be a carryover, so we'll have:
1 ⊕ a = 0 + a (and this is not possible)
so we try b = 1:
1 ⊕ b = 1 + b => 1 ⊕ 1 = 1 + 1 => 0 = 0 (with carryover)
et maintenant, pour a
:
carryover 1 0 0
A = 1 1 1 1 B = 0 1 1 1
X = a 1 0 0 X = a 1 0 0
-----------------------------------
0 0 0 0 0 0
1 ⊕ a = 0 + a (+1) => 1 ⊕ a = 1 + a
ici a
peut être 0 et 1, mais il doit être 0, afin d'éviter un report dans la somme B + X
.
Alors, X = 0 1 0 0
donc X = 4.
CODE
#include <iostream>
using namespace std;
inline int bit(int a, int n) {
if(n > 31) return 0;
return (a & ( 1 << n )) >> n;
}
int main(){
int A = 19;
int B = 7;
int X = 0;
int carryover = 0;
int aCurrent, aNext, bCurrent, bNext;
for(int i = 0; i < 32; i++){
aCurrent = bit(A, i); bCurrent = bit(B, i);
aNext = bit(A, i + 1); bNext = bit(B, i + 1);
if(aCurrent == 0 && bCurrent == 0){
if(carryover) {X = -1; break;}
if(aNext != bNext){
X += 1 << i;
}
carryover = 0;
}
else if(aCurrent == 0 && bCurrent == 1){
if(!carryover) {X = -1; break;}
if(aNext == bNext){
X += 1 << i;
}
carryover = 1;
}
else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 0){
if(!carryover) {X = -1; break;}
if(aNext != bNext){
X += 1 << i;
carryover = 1;
}
else {
carryover = 0;
}
}
else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 1){
if(carryover) {X = -1; break;}
if(aNext != bNext){
X += 1 << i;
carryover = 1;
}
else {
carryover = 0;
}
}
}
if(X != -1) cout<<"X = "<<X<<endl;
else cout<<"X doesnt exist"<<endl;
return 0;
}
Vous pouvez le tester ici .
a xor b = a + b mod 2
. Essayez de réfléchir à cette équivalence pendant un petit moment.