Pourquoi vérifions-nous la racine carrée d'un nombre premier pour déterminer s'il est premier?

Pour tester si un nombre est premier ou non, pourquoi devons-nous tester s'il n'est divisible que jusqu'à la racine carrée de ce nombre?

Si un nombre nn'est pas un nombre premier, il peut être divisé en deux facteurs aet b:

n = a * b

Maintenant aet bne peut pas être à la fois supérieur à la racine carrée de n, car alors le produit a * bserait supérieur à sqrt(n) * sqrt(n) = n. Donc, dans toute factorisation de n, au moins un des facteurs doit être inférieur à la racine carrée de n, et si nous ne pouvons trouver aucun facteur inférieur ou égal à la racine carrée, ndoit être un nombre premier.

Disons m = sqrt(n)alors m × m = n. Maintenant, si ce nn'est pas un nombre premier, alors non peut l'écrire n = a × bainsi m × m = a × b. Notez que mc'est un nombre réel alors que n, aet bsont des nombres naturels.

Maintenant, il peut y avoir 3 cas:

1. a> m ⇒ b <m
2. a = m ⇒ b = m
3. a <m ⇒ b> m

Dans les 3 cas, min(a, b) ≤ m. Par conséquent, si nous recherchons jusqu'à m, nous sommes tenus de trouver au moins un facteur de n, ce qui suffit pour montrer que ce nn'est pas un facteur premier.

Parce que si un facteur est supérieur à la racine carrée de n, l'autre facteur qui se multiplierait avec lui pour égaler n est nécessairement inférieur à la racine carrée de n.

Une explication plus intuitive serait: -

La racine carrée de 100 est 10. Disons axb = 100, pour différentes paires de a et b.

Si a == b, alors ils sont égaux et sont exactement la racine carrée de 100. Ce qui est 10.

Si l'un d'eux est inférieur à 10, l'autre doit être supérieur. Par exemple, 5 x 20 == 100. L'un est supérieur à 10, l'autre est inférieur à 10.

En pensant à axb, si l'un d'eux descend, l'autre doit devenir plus gros pour compenser, de sorte que le produit reste à 100. Ils pivotent autour de la racine carrée.

La racine carrée de 101 est d'environ 10,049875621. Donc, si vous testez le nombre 101 pour la primauté, vous n'avez qu'à essayer les entiers jusqu'à 10, y compris 10. Mais 8, 9 et 10 ne sont pas eux-mêmes premiers, vous n'avez donc qu'à tester jusqu'à 7, ce qui est premier.

Parce que s'il y a une paire de facteurs avec l'un des nombres supérieur à 10, l'autre de la paire doit être inférieur à 10. Si le plus petit n'existe pas, il n'y a pas de facteur plus grand correspondant de 101.

Si vous testez 121, la racine carrée est 11. Vous devez tester les entiers premiers de 1 à 11 (inclus) pour voir s'ils entrent uniformément. 11 va en 11 fois, donc 121 n'est pas premier. Si vous vous étiez arrêté à 10 ans et que vous n'aviez pas testé 11, vous en auriez manqué 11.

Vous devez tester chaque entier premier supérieur à 2, mais inférieur ou égal à la racine carrée, en supposant que vous testez uniquement des nombres impairs.

"

Supposons que ce nne soit pas un nombre premier (supérieur à 1). Il y a donc des chiffres aet btels que

n = ab      (1 < a <= b < n)

En multipliant la relation a<=b par aet bon obtient:

a^2 <= ab
 ab <= b^2

Par conséquent: (notez que n=ab)

a^2 <= n <= b^2

Par conséquent: (Notez que a et bsont positifs)

a <= sqrt(n) <= b

Donc, si un nombre (supérieur à 1) n'est pas premier et que nous testons la divisibilité jusqu'à la racine carrée du nombre, nous trouverons l'un des facteurs.

Supposons que l'entier donné N ne soit pas premier,

Alors N peut être factorisé en deux facteurs aet b, 2 <= a, b < Ntels que N = a*b. De toute évidence, les deux ne peuvent pas être plus grands que sqrt(N)simultanément.

Supposons sans perte de généralité aplus petite.

Maintenant, si vous ne pouviez pas trouver de diviseur d' Nappartenance à la gamme [2, sqrt(N)], qu'est-ce que cela signifie?

Cela signifie qu'il Nn'a pas de diviseur dans[2, a] tant que a <= sqrt(N).

Par conséquent, a = 1et b = ndonc par définition, Nest premier .

...

Lectures complémentaires si vous n'êtes pas satisfait:

De nombreuses combinaisons différentes de (a, b) peuvent être possibles. Disons qu'ils sont:

(a ₁ , b ₁ ), (a ₂ , b ₂ ), (a ₃ , b ₃ ), ....., (a _k , b _k ). Sans perte de généralité, supposons a _i <b _i ,1<= i <=k .

Maintenant, pour pouvoir montrer que ce Nn'est pas premier, il suffit de montrer qu'aucun des _i ne peut être factorisé davantage. Et nous savons également que a _i <= sqrt(N)et donc vous devez vérifier jusqu'à sqrt(N)ce qui couvrira tout a _i . Et par conséquent, vous pourrez conclure si oui ou non Nest premier.

...

Ce ne sont que des utilisations de base de la factorisation et des racines carrées.

Cela peut sembler abstrait, mais en réalité, cela tient simplement au fait que la factorielle maximale possible d'un nombre non premier devrait être sa racine carrée parce que:

sqrroot(n) * sqrroot(n) = n.

Étant donné que, si un nombre entier supérieur 1et inférieur ou supérieur à se sqrroot(n)divise également en n,n ne peut pas être un nombre premier.

Exemple de pseudo-code:

i = 2;

is_prime = true;

while loop (i <= sqrroot(n))
{
  if (n % i == 0)
  {
    is_prime = false;
    exit while;
  }
  ++i;
}

Donc, pour vérifier si un nombre N est premier ou non. Nous devons seulement vérifier si N est divisible par des nombres <= SQROOT (N). En effet, si nous factorisons N en 2 facteurs, disons X et Y, c'est-à-dire. N = X Y. Chacun de X et Y ne peut pas être inférieur à SQROOT (N) car alors, X Y <N Chacun de X et Y ne peut pas être supérieur à SQROOT (N) car alors, X * Y> N

Par conséquent, un facteur doit être inférieur ou égal à SQROOT (N) (tandis que l'autre facteur est supérieur ou égal à SQROOT (N)). Donc, pour vérifier si N est premier, nous devons seulement vérifier ces nombres <= SQROOT (N).

Disons que nous avons un nombre "a", qui n'est pas un nombre premier [pas un nombre premier / composé signifie - un nombre qui peut être divisé également par des nombres autres que 1 ou lui-même. Par exemple, 6 peut être divisé également par 2, ou par 3, ainsi que par 1 ou 6].

6 = 1 × 6 ou 6 = 2 × 3

Alors maintenant, si "a" n'est pas premier, il peut être divisé par deux autres nombres et disons que ces nombres sont "b" et "c". Ce qui signifie

a = b * c.

Maintenant, si "b" ou "c", l'un d'eux est supérieur à la racine carrée de "a" que la multiplication de "b" & "c" sera supérieure à "a".

Ainsi, "b" ou "c" est toujours <= racine carrée de "a" pour prouver l'équation "a = b * c".

Pour la raison ci-dessus, lorsque nous testons si un nombre est premier ou non, nous vérifions uniquement jusqu'à la racine carrée de ce nombre.

Étant donné n'importe quel nombre n, alors une façon de trouver ses facteurs est d'obtenir sa racine carrée p:

sqrt(n) = p

Bien sûr, si on se multiplie ppar lui-même, on revient n:

p*p = n

Il peut être réécrit comme:

a*b = n

O p = a = b.. Si aaugmente, puis bdiminue pour se maintenir a*b = n. C'est donc pla limite supérieure.

Mise à jour: je relis cette réponse encore aujourd'hui et elle est devenue plus claire pour moi. La valeur pne signifie pas nécessairement un entier parce que si c'est le cas, alors nce ne serait pas un nombre premier. Donc, ppourrait être un nombre réel (c'est-à-dire avec des fractions). Et au lieu de parcourir toute la gamme de n, il ne nous reste plus qu'à parcourir toute la gamme de p. L'autre pest une copie miroir, donc nous réduisons la plage de moitié. Et puis, maintenant je vois que nous pouvons réellement continuer à refaire le square rootet à le faire pà plus de la moitié de la plage.

Soit n un nombre non premier. Par conséquent, il a au moins deux facteurs entiers supérieurs à 1. Soit f le plus petit de n de tels facteurs. Supposons que f> sqrt n. Alors n / f est un entier LTE sqrt n, donc plus petit que f. Par conséquent, f ne peut pas être le plus petit facteur de n. Reductio ad absurdum; le plus petit facteur de n doit être LTE sqrt n.

Tout nombre composite est un produit de nombres premiers.

Disons n = p1 * p2, où p2 > p1et ce sont des nombres premiers.

Si n % p1 === 0alors n est un nombre composite.

Si n % p2 === 0alors devinez quoi n % p1 === 0aussi!

Il n'y a donc aucun moyen que si n % p2 === 0mais n % p1 !== 0en même temps. En d'autres termes, si un nombre composé n peut être divisé également par p2, p3 ... pi (son plus grand facteur), il doit également être divisé par son plus petit facteur p1 . Il s'avère que le facteur le plus bas p1 <= Math.square(n)est toujours vrai.

Pour tester la primalité d'un nombre, n , on pourrait s'attendre à une boucle telle que la suivante en premier lieu:

bool isPrime = true;
for(int i = 2; i < n; i++){
    if(n%i == 0){
        isPrime = false;
        break;
    }
}

Voici ce que fait la boucle ci-dessus: pour un 1 <i <n donné , elle vérifie si n / i est un entier (laisse le reste 0). S'il existe un i pour lequel n / i est un entier, alors nous pouvons être sûrs que n n'est pas un nombre premier, auquel point la boucle se termine. Si pour non i, n / i est un entier, alors n est premier.

Comme pour tout algorithme, nous demandons: pouvons-nous faire mieux?

Voyons ce qui se passe dans la boucle ci-dessus.

La séquence de i va: i = 2, 3, 4, ..., n-1

Et la séquence de contrôles entiers va: j = n / i, qui est n / 2, n / 3, n / 4, ..., n / (n-1)

Si pour certains i = a, n / a est un entier, alors n / a = k (entier)

ou n = ak, clairement n> k> 1 (si k = 1, alors a = n, mais i n'atteint jamais n; et si k = n, alors a = 1, mais i commence la forme 2)

De plus, n / k = a, et comme indiqué ci-dessus, a est une valeur de i donc n> a> 1.

Ainsi, a et k sont tous deux des entiers compris entre 1 et n (exclusif). Depuis, i atteint chaque entier de cette plage, à une certaine itération i = a et à une autre itération i = k. Si le test de primalité de n échoue pour min (a, k), il échouera également pour max (a, k). Nous devons donc vérifier un seul de ces deux cas, à moins que min (a, k) = max (a, k) (où deux contrôles se réduisent à un), c'est-à-dire a = k, auquel point a * a = n, qui implique a = sqrt (n).

En d'autres termes, si le test de primalité de n échouait pour certains i> = sqrt (n) (c.-à-d. Max (a, k)), il échouerait également pour certains i <= n (c.-à-d. Min (a , k)). Donc, il suffirait d'exécuter le test pour i = 2 à sqrt (n).