Quel est le premier entier qu'un flottant IEEE 754 est incapable de représenter exactement?

Pour plus de clarté, si j'utilise un langage qui implémente les flottants IEE 754 et que je déclare:

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

... puis réimprimez-les, j'obtiendrai 0,0000 et 1,0000 - exactement.

Mais IEEE 754 n'est pas capable de représenter tous les nombres le long de la ligne réelle. Proche de zéro, les «écarts» sont petits; à mesure que vous vous éloignez, les écarts se creusent.

Donc, ma question est: pour un float IEEE 754, quel est le premier entier (le plus proche de zéro) qui ne peut pas être représenté exactement? Je ne suis vraiment concerné que par les flottants 32 bits pour le moment, même si je serai intéressé d'entendre la réponse pour 64 bits si quelqu'un la donne!

Je pensais que ce serait aussi simple que de calculer 2 ^{bits_of_mantissa} et d'ajouter 1, où bits_of_mantissa est le nombre de bits que la norme expose. Je l'ai fait pour les flottants 32 bits sur ma machine (MSVC ++, Win64), et cela semblait bien, cependant.

2 ^{bits de mantisse + 1} + 1

Le +1 dans l'exposant (bits de mantisse + 1) est dû au fait que, si la mantisse contient abcdef...le nombre qu'elle représente en fait 1.abcdef... × 2^e, il fournit un bit de précision implicite supplémentaire.

Par conséquent, le premier entier qui ne peut pas être représenté avec précision et qui sera arrondi est:
Pour float, 16 777 217 (2 ²⁴ + 1).
Pour double9 007 199 254 740 993 (2 ⁵³ + 1).

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992

La plus grande valeur représentable par un entier de n bits est 2 ⁿ -1. Comme indiqué ci-dessus, a floata 24 bits de précision dans le significande, ce qui semble impliquer que 2 ²⁴ ne rentre pas.

Cependant .

Les puissances de 2 dans la plage de l'exposant sont exactement représentables comme 1,0 × 2 ⁿ , donc 2 ²⁴ peut s'adapter et par conséquent le premier entier non représentable pour floatest 2 ²⁴ +1. Comme indiqué ci-dessus. Encore.