Pour ajuster y = A + B log x , ajustez simplement y contre (log x ).
>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607, 6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62
Pour ajuster y = Ae Bx , prendre le logarithme des deux côtés donne log y = log A + Bx . Alors ajustez (log y ) contre x .
Notez que l'ajustement (log y ) comme s'il était linéaire accentuera les petites valeurs de y , provoquant un grand écart pour un y grand . En effet, la polyfit
(régression linéaire) fonctionne en minimisant ∑ i (Δ Y ) 2 = ∑ i ( Y i - Ŷ i ) 2 . Lorsque Y i = log y i , les résidus Δ Y i = Δ (log y i ) ≈ Δ y i / | y i |. Donc même sipolyfit
prend une très mauvaise décision pour un grand y , le "divide-by- | y |" facteur compensera cela, ce qui polyfit
favorise les petites valeurs.
Cela pourrait être atténué en donnant à chaque entrée un "poids" proportionnel à y . polyfit
prend en charge les moindres carrés pondérés via l' w
argument mot - clé.
>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
# y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446, 1.41648096])
# y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)
Notez qu'Excel, LibreOffice et la plupart des calculatrices scientifiques utilisent généralement la formule non pondérée (biaisée) pour les lignes de régression / tendance exponentielles. Si vous souhaitez que vos résultats soient compatibles avec ces plates-formes, n'incluez pas les poids même si cela donne de meilleurs résultats.
Maintenant, si vous pouvez utiliser scipy, vous pouvez utiliser scipy.optimize.curve_fit
pour adapter n'importe quel modèle sans transformations.
Pour y = A + B log x, le résultat est le même que la méthode de transformation:
>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t), x, y)
(array([ 6.61867467, 8.46295606]),
array([[ 28.15948002, -7.89609542],
[ -7.89609542, 2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)
Pour y = Ae Bx , cependant, nous pouvons obtenir un meilleur ajustement car il calcule Δ (log y ) directement. Mais nous devons fournir une estimation d'initialisation pour curve_fit
pouvoir atteindre le minimum local souhaité.
>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t), x, y)
(array([ 5.60728326e-21, 9.99993501e-01]),
array([[ 4.14809412e-27, -1.45078961e-08],
[ -1.45078961e-08, 5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t), x, y, p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249, 0.05531256]),
array([[ 1.01261314e+01, -4.31940132e-02],
[ -4.31940132e-02, 1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.