2 ^ n et n * 2 ^ n sont-ils de la même complexité temporelle?

Les ressources que j'ai trouvées sur la complexité temporelle ne sont pas claires sur le moment où il est acceptable d'ignorer les termes d'une équation de complexité temporelle, en particulier avec des exemples non polynomiaux.

Il est clair pour moi que, étant donné quelque chose de la forme n ² + n + 1, les deux derniers termes sont insignifiants.

Plus précisément, étant donné deux catégorisations, 2 ⁿ et n * (2 ⁿ ), la seconde est-elle dans le même ordre que la première? La multiplication n supplémentaire a-t-elle de l'importance? Habituellement, les ressources disent simplement que x ⁿ est dans une exponentielle et croît beaucoup plus vite ... puis continuez.

Je peux comprendre pourquoi ce ne serait pas le cas puisque 2 ⁿ dépasserait considérablement n, mais comme ils ne sont pas additionnés, cela importerait grandement en comparant les deux équations, en fait la différence entre elles sera toujours un facteur de n, ce qui semble pour le moins important.

Vous devrez aller à la définition formelle du grand O ( O) pour répondre à cette question.

La définition est celle qui f(x)appartient à O(g(x))si et seulement si la limite existe c'est-à-dire n'est pas l'infini. En bref, cela signifie qu'il existe une constante , telle que la valeur de n'est jamais supérieure à .limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

Dans le cas de votre question, laissez et laissez . Alors est qui grandira encore à l'infini. N'appartient donc pas à .f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

Un moyen rapide de voir que n⋅2ⁿc'est plus gros est de faire un changement de variable. Laissez m = 2ⁿ. Ensuite n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(en prenant le logarithme de base 2 des deux côtés de m = 2ⁿdonne n = log₂m), et vous pouvez facilement montrer que m log₂mcroît plus vite que m.

Je suis d'accord que ce n⋅2ⁿn'est pas le cas O(2ⁿ), mais j'ai pensé que cela devrait être plus explicite car la limite d'utilisation supérieure ne tient pas toujours.

Par la définition formelle de Big-O: f(n)est dans O(g(n))s'il existe des constantes c > 0et n₀ ≥ 0telles que pour tout ce que n ≥ n₀nous avonsf(n) ≤ c⋅g(n) . On peut facilement montrer qu'aucune de ces constantes n'existe pour f(n) = n⋅2ⁿet g(n) = 2ⁿ. Cependant, on peut montrer que g(n)c'est dans O(f(n)).

En d'autres termes, n⋅2ⁿest limité par 2ⁿ. C'est intuitif. Bien qu'ils soient tous les deux exponentiels et qu'il est donc également peu probable qu'ils soient utilisés dans la plupart des circonstances pratiques, nous ne pouvons pas dire qu'ils sont du même ordre car ils 2ⁿcroissent nécessairement plus lentement que n⋅2ⁿ.

Je ne conteste pas les autres réponses qui disent que cela n⋅2ⁿpousse plus vite que 2ⁿ. Mais la n⋅2ⁿcroissance n'est encore qu'exponentielle.

Lorsque nous parlons d'algorithmes, nous disons souvent que l'augmentation de la complexité temporelle est exponentielle. Donc, nous considérons comme 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿou notre n⋅2ⁿêtre même groupe de complexité avec croissance exponentielle.

Pour lui donner un peu de sens mathématique, on considère qu'une fonction f(x)croît (pas plus vite que) exponentiellement s'il existe une telle constante c > 1, quef(x) = O(cx) .

Car n⋅2ⁿla constante cpeut être n'importe quel nombre supérieur à 2, prenons3 . Ensuite:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿet c'est moins que 1pour toutn .

Donc 2ⁿpousse plus lentement que n⋅2ⁿ, le dernier à son tour pousse plus lentement que 2.000001ⁿ. Mais tous les trois croissent de façon exponentielle.

Vous avez demandé "le second est-il dans le même ordre que le premier? Est-ce que la multiplication n supplémentaire est importante?" Ce sont deux questions différentes avec deux réponses différentes.

n 2 ^ n croît asymptotiquement plus vite que 2 ^ n. Voilà la réponse à cette question.

Mais vous pouvez demander "si l'algorithme A prend 2 ^ n nanosecondes et l'algorithme B prend n 2 ^ n nanosecondes, quel est le plus grand n où je peux trouver une solution en une seconde / minute / heure / jour / mois / an? Et les réponses sont n = 29/35/41/46/51/54 vs 25/30/36/40/45/49. Peu de différence dans la pratique.

La taille du plus gros problème qui peut être résolu dans le temps T est O (ln T) dans les deux cas.