Évaluation des erreurs de calcul effectuée à l'aide de données non projetées ou projetées

Cette question se fonde sur celle avec la ligne d'objet "Calcul de la direction du flux et délimitation des bassins à partir des données projetées et non projetées.": Calcul du sens du flux et délimitation des bassins à partir des données DEM projetées et non projetées

Il s'agit cependant d'une question entièrement distincte, car la question susmentionnée a établi qu'il existe des problèmes avec l'utilisation d'algorithmes (par exemple, ArcGIS Flow Direction) qui supposent une distance euclidienne sur les données dans un système de coordonnées géographiques sphérique / non projeté.

Nous savons que les projections cartographiques sont un peu comme prendre une peau d'orange et tenter de l'aplatir sur un bureau - vous aurez une erreur intrinsèquement introduite par la projection cartographique. Mais, il semble que les avantages de la projection compensent toute erreur introduite, en particulier lorsque vous exécutez des calculs qui supposent une surface plane cartésienne / projetée. Dans ce cas, l'algorithme qui m'intéresse est l'algorithme ArcGIS Flow Direction qui suppose que vos données sont projetées (et c'est l'hypothèse prise par la plupart des applications basées sur mes recherches) car il utilise une approche euclidienne pour calculer la distance.

Ma question est : comment peut-on quantifier l'erreur qui pourrait être introduite avec le calcul de la direction du flux dans une zone d'étude donnée en utilisant des données DEM non projetées (données DEM dans un système de coordonnées géographiques) par rapport aux données projetées (données DEM dans une projection appropriée telle qu'une UTM ou quelque chose de conforme)?

Certes, vous pouvez dériver un raster de direction de flux à l'aide des données DEM non projetées puis projetées. Mais alors quoi? Puisque notre objectif est de modéliser la surface de la Terre aussi précisément que possible (et nous ne traitons pas les erreurs qui pourraient être introduites dans le processus de création du DEM d'origine, etc. - ce sont une constante en ce qui me concerne) .... supposons-nous simplement que les données de direction d'écoulement dérivées du DEM projeté sont meilleures, puis comparons les valeurs de cellule individuelles des deux rasters pour identifier les cellules qui ont des valeurs directionnelles différentes (dans le contexte du modèle D-8 normal )? Je suppose que pour ce faire, vous devez prendre le raster de direction de flux dérivé de données non projetées, puis appliquer la même projection utilisée avec le raster de direction de flux projeté.

Qu'est-ce qui aurait le plus de sens et à quoi le DEM non projeté devrait-il être comparé en tant que référence de précision?

Entrer dans les moindres détails des équations mathématiques pourrait, pour ceux qui le comprennent, vous donner des preuves au niveau du sol et être suffisant pour certains, mais cela ainsi que quelque chose qui pourrait transmettre l'erreur à quelqu'un qui n'a pas d'in- une compréhension approfondie des mathématiques mais peut juste connaître suffisamment de géographie / SIG pour être dangereux serait idéal (idéalement, les deux niveaux seraient bons, ce qui résonnerait avec les geeks de la géographie hardcore et le dabbler GIS moyen). Pour les gens de niveau supérieur, le fait de dire que la preuve est dans les mathématiques laisse peut-être un peu ouvert à l'argumentation - je cherche quelque chose de plus tangible (par exemple, associer un chiffre en dollars à une sorte d'inefficacité au sein du gouvernement).

Toute pensée ou idée sur la façon de quantifier cela serait grandement appréciée.

À M

L'analyse a déjà été faite en réponse à la question précédente , mais peut-être qu'une illustration sera utile.

Il y a deux composantes principales de l'erreur: l'algorithme "d8", qui représente les flux dans seulement huit directions cardinales, et l'effet de la projection (ou son absence). Concentrons-nous sur ce dernier, car cela semble être la principale préoccupation.

L'erreur dépend des distorsions de la projection et du terrain lui-même. Localement, sur une petite région, toutes les distorsions de projection à la surface de la Terre équivalent à un étirement dans une direction par rapport à une direction perpendiculaire: c'est pourquoi une Indicateur de Tissot (correctement calculée) est une ellipse parfaite, car une ellipse n'est qu'un cercle étiré. Le terrain peut avoir n'importe quel aspect (sens d'écoulement). Pour gérer cela, regardons un terrain qui a en effet des points dans toutes les directions possibles avec de simples lignes d'écoulement: un cône .

Superposé sur cette carte de contour ombrée en couleur de l'élévation du cône se trouve une collection de lignes de courant montrant les directions où l'eau s'écoulerait. Vous pouvez confirmer que ces lignes de courant sont correctes en vérifiant qu'elles traversent les contours à angle droit.

En choisissant des unités de mesure appropriées et une origine appropriée pour le système de coordonnées (au sommet du cône), l'équation de l'élévation en termes de coordonnées (x, y) est simplement

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Les lignes de courant sont toujours parallèles au gradient de z (dans le sens inverse), calculé en différenciant cette formule par rapport à x et y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Le coefficient 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) ne change pas la direction, nous pouvons donc l'ignorer pour comprendre les rationalisations. Ainsi, à n'importe quel endroit (x, y), la rationalisation pointe dans la direction (x, y).

Un étirement horizontal des coordonnées (par un facteur 2 sur cette image) a pour effet d'étirer tous les contours (sans modifier les niveaux de contour: les hauteurs ne sont pas affectées par les projections). Bien que (bien sûr) les contours représentent de vrais cercles, ils ne ressemblent plus à de vrais cercles sur la carte. Néanmoins, lorsque les lignes de courant sont calculées dans ces coordonnées, elles doivent traverser les contours à angle droit comme auparavant.

L'effet de l'étirement est de mettre l'élévation à n'importe quel point de coordonnées (x, y) à de nouvelles coordonnées (étirement x, y). Considérez ceci à l'envers: l'élévation aux coordonnées (X, Y) = (étirement x, y) doit être la valeur de z calculée à (x, y) = (X / étirement, Y). Par conséquent, l'équation de la surface apparente dans cette projection est

z = -Sqrt ((x / étirement) ^ 2 + y ^ 2).

Différencier, on calcule

-Grad (z) = (x / stretch ^ 2, y) / Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Encore une fois, le facteur commun importe peu; ainsi, à n'importe quel endroit (x, y), la rationalisation calculée pointe dans la direction (x / stretch ^ 2, y) . C'était la formule utilisée pour dessiner les lignes de courant dans l'image précédente. Vous pouvez voir qu'ils traversent correctement les contours à angle droit.

Cette troisième image reprojete l'image précédente. La surface est montrée une fois de plus sans distorsion. Cependant, les lignes de courant ne semblent plus traverser les contours à angle droit. C'était le cas même dans l'image précédente: en raison de la distorsion, les angles ne semblaient être que des angles droits. Les traversées étaient incorrectes tout au long. C'est pourquoi ne pas projeter (ou utiliser une projection non conforme) est une erreur. La question est de savoir à quel point cela pourrait être une erreur. Certains ont prétendu que cela n'avait que peu de conséquences (au moins aux latitudes basses à modérées).

Cette reprojection (pour supprimer la distorsion sur la carte) déplace le point à (x * stretch, y) vers (x, y). La direction du flux précédemment calculée à ce point a été stockée dans une grille (sous forme d'angle ou de code de direction): elle ne change pas. Par conséquent, la direction de flux calculée en (x, y) est (x / stretch ^ 2, y).

Cela quantifie l'effet d'une reprojection sur toutes les directions d'écoulement possibles, comme le montre la différence entre le premier et le dernier graphique. Voici leur superposition, sans l'intrigue de contour pour la distraction:

La reprojection affecte les directions différemment selon l'orientation du flux par rapport au grand axe de la Tissot Indicatrix. Il s'agit d'une fonction quadratique de la distorsion linéaire relative dans la projection. En tant que tel, il exagère même une légère distorsion. (Le facteur de deux illustré ici est quelque peu extrême mais réaliste: c'est la distorsion introduite en omettant de projeter - c'est-à-dire en utilisant les coordonnées géographiques comme coordonnées cartographiques - à des latitudes de 60 degrés.)

Avec un peu de trigonométrie, on peut utiliser ces résultats pour calculer l'erreur angulaire dans la direction du flux en fonction de la bonne direction. Voici un graphique des erreurs associées à l'utilisation d'un système de coordonnées géographiques (non projetées) aux latitudes 20, 30, 40, 50 et 60 degrés. (Bien sûr, les erreurs les plus importantes sont associées à des latitudes plus élevées.)

La "vraie direction" est en degrés à l'est du nord. Des différences angulaires positives se produisent lorsque la direction apparente (calculée sans projection lat, lon) est dans le sens antihoraire de la direction vraie.

N'oubliez pas, vous devez superposer les erreurs d8 en plus de celles-ci!