Ceci est le résultat de la cartographie du tracé de la ligne droite d'un point situé aux États-Unis vers la Pologne à l'aide de l' outil de mesure de distance .
De plus, les avions entre l'Asie et les États-Unis voyageraient presque au-dessus du pôle Nord.
Pourquoi le chemin est-il si courbe? Je conviens qu’il s’agit d’une représentation plate d’une sphère, j’attends donc un arc, mais je ne pense pas que la Terre présente autant de courbure.
Qu'est-ce que j'oublie ici?
Réponses:
Il suffit de regarder le chemin sur la sphère. La voici dans Google Earth:
Le chemin sur votre carte est fortement incurvé car votre carte utilise une projection avec beaucoup de distorsion. (La distorsion grandit sans se lier aux pôles et ce chemin se rapproche du pôle nord.)
La distorsion est nécessaire pour expliquer la courbure de cette géodésique sur la carte, mais la connexion entre eux est subtile. On peut en dire plus qui est à la fois utile, informatif et élégant. Voyez si vous êtes d'accord.
La carte du PO utilise une projection de Mercator. Ses principales qualités sont qu’il est
Cylindrique : les méridiens en particulier sont des lignes verticales sur la carte,
Conforme : tout angle auquel deux chemins se croisent sur la Terre sera correctement rendu sur la carte, et
Loxodromique : tout itinéraire à relèvement constant (sur la terre) est affiché sous forme de segment de droite sur la carte.
Ces propriétés facilitent la lecture de certaines informations critiques directement à partir de la carte. Dans ce contexte, je suis particulièrement intéressé par les angles que tout chemin crée avec chacun des méridiens qu’il traverse. (Ce sont les relèvements mesurés à partir du nord.) Par exemple, le chemin décrit dans la question commence au Canada, autour de 54 degrés de latitude, faisant un angle d'environ 30 degrés avec son méridien.
Ce que nous devons également savoir sur un point situé à 54 degrés de latitude, c’est qu’il est plus proche de l’axe de la Terre que de points situés le long de l’équateur. En fait, c'est cos (54) * R depuis l'axe, où R est le rayon de la Terre. (C’est essentiellement la définition du cosinus. Il est utile de connaître un peu les cosinus afin de comprendre leur comportement, mais vous n’avez pas besoin de connaître une autre trigonométrie. Je vous promets. Encore une chose: le sinus d'un angle est le cosinus de son complément, par exemple, sin (32 degrés) = cos (90-32) = cos (58).
Enfin, notez que la terre est symétrique en rotation autour de son axe. Cela nous permet d’invoquer la belle de Clairaut
Théorème (1743): Sur une trajectoire dans toute surface lisse de révolution, le produit de la distance à l'axe avec le sinus du relèvement est constant si et seulement si la trajectoire est localement géodésique.
Ainsi, comme nous partons à 54 degrés de latitude sous un angle de 30 degrés, le produit dans le théorème est égal à cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.
Comment cela aide-t-il? Eh bien, réfléchissez à ce qui se passerait si le chemin continuait approximativement tout droit sur la carte . Tôt ou tard, il atteindrait une latitude de 73 degrés. En utilisant le théorème de Clairaut, nous pouvons résoudre le relèvement à cette latitude:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.Cela dit qu’au moment où nous atteignons une latitude de 73 degrés, nous devons voyager vers l’est ! C'est-à-dire que le chemin, pour être géodésique, doit être tellement incurvé que le relèvement initial de 30 degrés (est du nord) devient 90 degrés (est du nord).
(Bien sûr, j'ai trouvé la valeur 73 degrés en résolvant l'équation cos (latitude) = cos (latitude) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Pour faire cela vous-même, vous devez savoir que (a ) sin (90) = 1 (parce que sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) et (b) la plupart des calculateurs et feuilles de calcul ont une fonction permettant de résoudre des cosinus: il s’appelle ArcCos ou cosinus inverse. J'espère que vous ne considérez pas ce petit détail comme une rupture de ma promesse antérieure de ne plus avoir de trig ...)
Après avoir fait quelques calculs comme celui-ci, vous développez une intuition pour ce que dit le théorème de Clairaut. Un chemin dans une surface de révolution (comme la Terre) peut être géodésique (localement le plus court ou "droit") uniquement lorsque (a) son relèvement devient plus parallèle aux méridiens en des points éloignés de l’axe et (b) que son relèvement devient plus perpendiculaire aux méridiens en des points plus proches de l’axe. Parce qu'il y a une limite à la perpendiculaire - 90 degrés, c'est vrai -, il y a une limite à la proximité de l'axe. Cet ajustement constant du relèvement (= angle par rapport au méridien) et de la latitude (= distance par rapport à l'axe) provoque la courbure apparente des géodésiques sur la plupart des cartes, en particulier sur ceux qui utilisent des projections cylindriques, où les méridiens et les lignes de latitude sont respectivement rendus sous forme de lignes verticales et horizontales.
Voici quelques implications simples du théorème de Clairaut. Voyez si vous pouvez tous les prouver:
L'équateur doit être une géodésique.
Tous les méridiens sont géodésiques.
Aucune ligne de latitude, autre que l'équateur (et les pôles, si vous souhaitez les inclure), ne peut être géodésique. Pas même une petite partie d'une ligne de latitude ne peut être géodésique.
Les loxodromes (ou rhumb lines), qui sont des lignes à port constant, ne peuvent être géodésiques que s'ils sont des méridiens ou l'équateur. Pas même une petite partie d'un tel loxodrome ne peut être géodésique. En d'autres termes, si vous naviguez ou volez dans une direction de boussole fixe, alors, à quelques exceptions évidentes, votre chemin est constamment incurvé!
Le point 4 dit que si vous volez des Rocheuses canadiennes avec un relèvement initial de 30 degrés à l’est du nord, vous devez sembler, par rapport au nord, tourner constamment (à droite) pour voler droit; vous n'irez jamais au nord de 73 degrés de latitude; et si vous continuez assez loin, vous vous rendrez en Pologne et vous vous dirigerez à environ 150 degrés à l’est du nord lorsque vous y arriverez. Bien sûr, les détails - 73 degrés et la Pologne et 150 degrés - ne sont obtenus que par l' énoncé quantitatif du théorème de Clairaut: vous ne pouvez généralement pas comprendre ce genre de chose en utilisant simplement votre idée intuitive de géodésique.
Il est à noter que tous ces résultats sont valables pour un sphéroïde général (une surface de révolution générée par une ellipse), pas seulement pour des sphères parfaites. Avec de légères modifications, ils sont valables pour les tori (surfaces de bagels ou de pneus de camion) et de nombreuses autres surfaces intéressantes. (L’auteur de science-fiction Larry Niven a écrit un roman dans lequel figure un petit monde artificiel en forme de tore. Le lien inclut une image de la couverture du roman représentant une partie de ce monde.)
Dans cette projection (Google Mercator), c'est à quoi ressemble le grand arc de cercle entre ces deux endroits.
Juste un ajout rapide:
De plus, les avions entre l'Asie et les États-Unis voyageraient presque au-dessus du pôle Nord.
Dans cette direction, ils utiliseront souvent le jet stream. Dans l’autre sens, ils survoleront / se rapprocheront des pôles.
La projection de Mercator se déforme aux pôles http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
plus d'informations Indicatrix de Tissot
Donc, la pente est plus aiguë dans ces derniers pôles
J'ai vu une explication très élégante de ce phénomène sur le blog de Tom MacWright ici , avec des photos d'oranges. La version explicative de 5 ans: "Sur un globe terrestre, les chemins les plus courts sont plats et les lignes de navigation sont sinueuses. Mercator a créé une carte où les lignes de navigation sont droites. Les chemins les plus courts se courbent."
Cela est dû à la projection d’un plan 2D sur une surface polorisée à 2 sphères. Lorsque la ligne se déplace au-delà des pôles, elle se déforme aussi loin que possible pour les observateurs du plan 2D car la ligne droite jusqu’à la destination semble être une courbe. arche d'un grand cercle, terme mathématique qui désigne le plus grand cercle pouvant être découpé dans une sphère, à condition que le cercle passe au centre de la sphère. J'ai légèrement modifié les images fournies dans d'autres réponses en gribouillant une ligne pour illustrer (assez mal, j'ai peur, je suis nouveau dans GIMP) La prétendue distorsion polaire. Je pense qu'un concept similaire se cache derrière les forces gravitationnelles, mais je ne suis pas physicien, donc je ne saurais le dire.
Plus un point se rapproche des pôles, moins il semble être déformé lors du rendu sur une surface 2D plate, bien qu'il soit encore très petit. Cela dépend également de la méthode de projection utilisée, et certaines s’efforcent de faire en sorte que la route la plus rapide entre deux points semble plate et qu’elle se retourne ensuite sur la vue sphérique complète.