Un de mes collègues travaille avec des données réparties sur deux zones UTM. La majorité des données se trouvent dans une zone, avec quelques valeurs aberrantes dans une autre zone. Il aimerait savoir quelle serait la distorsion de zone de ces valeurs aberrantes si elles se trouvaient dans la zone UTM principale.
Existe-t-il une formule pour calculer la distorsion surfacique en sachant à quelle distance dans l'autre zone UTM les caractéristiques étaient?
Réponses:
UTM utilise une projection Mercator transversale avec un facteur d'échelle de 0,9996 au méridien central. Dans le Mercator, le facteur d'échelle de distance est la sécante de la latitude (une source: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), d'où le facteur d'échelle de surface est le carré de ce facteur d'échelle (car il s'applique dans toutes directions, le Mercator étant conforme). En comprenant la latitude comme la distance sphérique à l'équateur et en rapprochant l'ellipsoïde avec une sphère, nous pouvons appliquer cette formule à n'importe quel aspect de la projection de Mercator. Ainsi:
Le facteur d'échelle est de 0,9996 fois la sécante de la distance (angulaire) au méridien central. Le facteur d'échelle de surface est le carré de cette quantité.
Pour trouver cette distance, considérons le triangle sphérique formé en voyageant le long d'une géodésique à partir d'un point arbitraire à (lon, lat) = (lambda, phi) tout droit vers le méridien central à longitude mu, le long de ce méridien jusqu'au pôle le plus proche, puis revenir le long du méridien lambda jusqu'au point d'origine. Le premier virage est un angle droit et le second est un angle de lambda-mu. La quantité parcourue le long de la dernière portion est de 90 degrés phi. La loi sphérique des sinus appliquée à ce triangle
sin (lambda-mu) / sin (distance) = sin (90 degrés) / sin (90-phi)
avec solution
distance = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Cette distance est donnée sous forme d'angle, ce qui est pratique pour calculer la sécante.
Exemple
Considérons la zone UTM 17, avec le méridien central à -183 + 17 * 6 = -81 degrés. Que l'emplacement éloigné soit à -90 degrés de longitude, 50 degrés de latitude. ensuite
Étape 1: la distance sphérique de (-90, 50) au méridien de -81 degrés est égale à ArcSin (sin (9 degrés) * cos (50 degrés)) = 0,1007244 radians.
Étape 2: La distorsion de zone est égale à (0,9996 * sec (0,1007244 radians)) ^ 2 = 1,009406.
(Les calculs numériques avec l'ellipsoïde GRS 80 donnent la valeur 1,009435, montrant que la réponse que nous avons calculée est 0,3% trop faible: c'est le même ordre de grandeur que l'aplatissement de l'ellipsoïde, indiquant que l'erreur est due à l'approximation sphérique.)
Approximations
Pour avoir une idée de la façon dont la zone change, nous pouvons utiliser certaines identités trigonométriques pour simplifier l'expression globale et l'étendre en tant que série de Taylor dans lambda-mu (le déplacement entre la longitude du point et la longitude du méridien central UTM). Cela fonctionne pour
Facteur d'échelle de zone ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Comme pour toutes ces expansions, l'angle lambda-mu doit être mesuré en radians. L'erreur est inférieure à 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, ce qui est proche du carré de la différence entre l'approximation et 1 - c'est-à-dire le carré de la valeur après la virgule décimale .
Dans l'exemple avec phi = 50 degrés (avec un cosinus de 0,642788) et lambda-mu = -9 degrés = -0,15708 radians, l'approximation donne 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. En regardant au-delà de la virgule décimale et de la quadrature, nous déduisons (même sans connaître la valeur correcte) que son erreur ne peut pas être supérieure à (0,009387) ^ 2 = inférieure à 0,0001 (et en fait, l'erreur n'est que d'un cinquième de cette taille).
D'après cette analyse, il est évident qu'aux hautes latitudes (où cos (phi) est petit), les erreurs d'échelle seront toujours faibles; et aux latitudes inférieures, les erreurs d'échelle de zone se comporteront comme le carré de la différence de longitudes.
Outil GeographicLib GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
permet un chevauchement généreux entre les zones UTM (en particulier, la conversion en une zone voisine est autorisée à condition que l'abscisse résultante soit dans la plage [0 km, 1000 km]). GeoConvert peut également signaler la convergence et l'échelle du méridien et, comme le note plus clairement, la distorsion de la zone est le carré de l'échelle.
Par exemple, votre zone "principale" est de 42 et vous obtenez un point donné
41N 755778 3503488
(Université de Kandahar) qui se trouve à environ 29 km à l'ouest de la zone 42. Pour la convertir en zone 42, utilisez
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Pour déterminer la convergence méridienne et l'échelle dans la zone 42, ajoutez l'indicateur -c
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
La distorsion de la zone est donc 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.