Quelle est la précision approximative de la Terre en tant que sphère?

Quel niveau d'erreur est-ce que je rencontre lors de l'approximation de la Terre en tant que sphère? Plus précisément, s’agissant de la localisation des points et, par exemple, des distances entre les grands cercles.

Existe-t-il des études sur l'erreur moyenne et la pire des erreurs par rapport à un ellipsoïde? Je me demande quelle précision je sacrifierais si je choisissais une sphère pour faciliter les calculs.

Mon scénario particulier implique de mapper directement les coordonnées WGS84 comme si elles étaient des coordonnées sur une sphère parfaite (avec le rayon moyen défini par l’UGGG) sans aucune transformation.

En bref, la distance peut être erronée jusqu’à environ 22 km ou 0,3%, selon les points en question. C'est:

• L’erreur peut être exprimée de plusieurs manières naturelles et utiles , telles que (i) erreur (résiduelle), égale à la différence entre les deux distances calculées (en kilomètres), et (ii) erreur relative, égale à la différence divisée par le valeur "correcte" (ellipsoïdale). Pour produire des nombres pratiques, je multiplie ces ratios par 1000 pour exprimer l'erreur relative en parties pour mille .

• Les erreurs dépendent des points d'extrémité. En raison de la symétrie de rotation de l'ellipsoïde et de la sphère et de leurs symétries bilatérales (nord-sud et est-ouest), nous pouvons placer l'un des points d'extrémité le long du premier méridien (longitude 0) dans l'hémisphère nord (latitude entre 0 et 90 ) et l'autre extrémité de l'hémisphère oriental (longitude comprise entre 0 et 180).

Pour explorer ces dépendances, j'ai tracé les erreurs entre les points finaux situés à (lat, lon) = (mu, 0) et (x, lambda) en fonction de la latitude x entre -90 et 90 degrés. (Tous les points sont nominalement à une hauteur ellipsoïde égale à zéro.) Dans les figures, les lignes correspondent aux valeurs de mu à {0, 22,5, 45, 67,5} degrés et aux colonnes de valeurs de lambda à {0, 45, 90, 180} degrés. Cela nous donne une bonne vision du spectre des possibilités. Comme prévu, leurs tailles maximales correspondent approximativement à l'aplatissement (environ 1/300) fois le grand axe (environ 6700 km), soit environ 22 km.

les erreurs

Erreurs relatives

Tracé de contour

Une autre façon de visualiser les erreurs consiste à réparer un point de terminaison et à laisser l’autre varier, en prenant en compte les erreurs qui se produisent. Voici, par exemple, un tracé de contour dont le premier point final est 45 degrés de latitude nord et 0 degrés de longitude. Comme auparavant, les valeurs d'erreur sont en kilomètres et les erreurs positives signifient que le calcul sphérique est trop grand:

Il pourrait être plus facile à lire quand enveloppé dans le monde entier:

Le point rouge dans le sud de la France indique l'emplacement du premier point final.

Pour mémoire, voici le code Mathematica 8 utilisé pour les calculs:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Et l'une des commandes de traçage:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

J'ai exploré cette question récemment. Je pense que les gens veulent savoir

1. quel rayon sphérique dois-je utiliser?
2. quelle est l'erreur résultante?

Une mesure raisonnable pour la qualité de l'approximation est l'erreur relative absolue maximale dans la distance du grand cercle

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

avec le maximum évalué sur toutes les paires de points possibles.

Si l'aplatissement f est petit, le rayon sphérique qui minimise l'erreur est très proche de (a + b) / 2 et l'erreur résultante est d'environ

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(évalué avec 10 ^ 6 paires de points choisis au hasard). Il est parfois suggéré d'utiliser (2 * a + b) / 3 comme rayon sphérique. Il en résulte une erreur légèrement plus grande, err = 5 * f / 3 = 0,56% (pour WGS84).

Les géodésiques dont la longueur est le plus sous-estimée par l'approximation sphérique se trouvent près d'un pôle, par exemple (89.1,0) à (89.1,180). Les géodésiques dont la longueur est le plus surestimée par l'approximation sphérique sont méridionales près de l'équateur, par exemple, (-0,1,0) à (0,1,0).

ADDENDA : Voici une autre façon d'aborder ce problème.

Sélectionnez des paires de points uniformément répartis sur l'ellipsoïde. Mesurez la distance ellipsoïdale s et la distance sur une unité de sphère t . Pour toute paire de points, s / t donne un rayon sphérique équivalent. Faites la moyenne de cette quantité sur toutes les paires de points, ce qui donne un rayon sphérique moyen équivalent. Il y a une question de savoir exactement comment la moyenne devrait être faite. Cependant tous les choix que j'ai essayés

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

tous sont sortis à quelques mètres du rayon moyen recommandé par IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Ainsi, cette valeur minimise l'erreur quadratique moyenne dans les calculs de distance sphérique. (Cependant, l’erreur relative maximale est légèrement supérieure à celle de ( a + b ) / 2; voir ci-dessus.) Étant donné que R ₁ est susceptible d’être utilisé à d’autres fins (calculs de surface et autres), il ya lieu de s'en tenir à ce choix pour les calculs de distance.

La ligne du bas :

• Pour tout type de travail systématique, où vous pouvez tolérer une erreur de 1% dans les calculs de distance, utilisez une sphère de rayon R ₁ . L'erreur relative maximale est de 0,56%. Utilisez cette valeur de manière cohérente lorsque vous approchez la Terre avec une sphère.
• Si vous avez besoin de plus de précision, résolvez le problème géodésique ellipsoïdal.
• Pour les calculs au dos de l’enveloppe, utilisez R ₁ ou 6400 km ou 20000 / pi km ou a . Cela donne une erreur relative maximale d’environ 1%.

UN AUTRE ADDENDA : Vous pouvez obtenir un peu plus de précision hors de la distance du grand cercle en utilisant μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (latitude d'un redresseur pour homme pauvre) comme latitude dans le calcul du grand cercle. Cela réduit l'erreur relative maximale de 0,56% à 0,11% (en utilisant R ₁ comme rayon de la sphère). (On ne sait pas vraiment si cette approche vaut vraiment la peine, au lieu de calculer directement la distance géodésique ellipsoïdale.)