Pourquoi le positionnement GPS nécessite-t-il quatre satellites?

J'ai une question sur l'algorithme de positionnement GPS. Dans tous les livres que j'ai lus pour le positionnement 3D, nous avons besoin de quatre satellites, et je ne comprends pas pourquoi.

Nous devons calculer trois variables: x, y, z. Nous savons quand les satellites envoient le signal à la terre et quand nous le recevons, nous pouvons mesurer le temps que prend le signal pour aller à la terre en vérifiant le décalage du générateur de PRN. Dans quel but avons-nous besoin de quatre satellites?

Juste un graphique à ajouter à la réponse de M'vy .

De Geocommon s:

C'est une version high-tech de la triangulation,appelé trilatération. Le premier satellite vous situe quelque part sur une sphère (en haut à gauche de la figure). Le second satellite réduit votre position à un cercle créé par l'intersection des deux sphères satellites (en haut à droite). Le troisième satellite réduit le choix à deux points possibles (en bas à gauche). Enfin, le quatrième satellite aide à calculer une correction de synchronisation et de localisation et sélectionne l'un des deux points restants comme position (en bas à droite).

Mise à jour

Comme le souligne RK, il ne s’agit pas d’ une forme de triangulation. Même lorsque le GPS exploite plus de 4 satellites, il effectue toujours la trilatération , par opposition à la multilatération , que le GPS n’utilise pas.

La multilatération ne doit pas être confondue avec la trilatération, qui utilise des distances ou des mesures absolues du temps de vol depuis trois sites ou plus , ni avec la triangulation, qui utilise la mesure des angles absolus. Ces deux systèmes sont également couramment utilisés avec les systèmes de radionavigation; la trilatération est la base du GPS.

Les principales raisons pour lesquelles vous avez besoin d'un quatrième satellite sont les corrections de synchronisation. Si vous connaissez la position et la vitesse exactes des satellites, la trilatération vous donnera effectivement 2 points, mais l'un d'eux sera généralement impossible ou avec une vitesse impossible. Mais un récepteur GPS utilise le temps nécessaire pour recevoir un signal satellite afin de déterminer la distance qui le sépare de ce satellite. Même des erreurs mineures dans le temps de votre récepteur GPS provoqueront d'énormes erreurs et donc une grande bande d'incertitude lorsque vous ne disposez que de trois satellites.

Vous avez besoin de quatre satellites car chaque donnée d’un satellite vous place dans une sphère autour du satellite. En calculant les intersections, vous pouvez limiter les possibilités à un seul point.

Deux intersections de satellites vous placent sur un cercle. (tous les points possibles)

Trois intersections de satellites vous placent sur deux points possibles.

Le dernier satellite vous donne la position exacte.

Vous pouvez éviter d'utiliser quatre satellites si vous connaissez déjà l'altitude. Par exemple, lorsque vous conduisez, vous pouvez utiliser le niveau du sol comme dernière intersection. Mais vous ne pouvez pas faire cela dans un avion, puisque vous n'êtes pas attaché au sol.

En réalité, vous devez déterminer quatre coordonnées à partir des satellites, x, y, z et t, l'heure.

Vous ne pouvez pas utiliser l'horloge à l'intérieur de l'appareil, car elle est beaucoup trop imprécise. Elle est générée par un cristal de quartz, tandis que pour la précision souhaitée de quelques mètres, vous aurez besoin d’une horloge atomique, semblable à celle utilisée dans les satellites.

>> 3 satellites seraient assez

Le ou les systèmes de positionnement global supposent un «système de coordonnées cartésiennes 3D xyz centré sur la terre, fixé sur la terre» . Tout emplacement dans cet espace 3D ne nécessite pas plus de 3 composants pour être complètement identifié. Ainsi, bien que 3 sphères obtenues par 3 mesures de distance se croisent en deux points différents, l’un de ces points est rendu inutile par la caractéristique [ centré de la terre + fixe ] du système de coordonnées GPS; nous nous intéressons aux endroits situés sous l'atmosphère terrestre. 3 satellites pourraient être utilisés pour déterminer 3 dimensions de position avec une horloge réceptrice «parfaite» (avec une horloge atomique / optique coûteuse).

! OUI !, vous auriez pu l'obtenir! une position 3D avec 3 satellites SI le récepteur GPS que vous utilisez était équipé d'une horloge atomique. (L'ELIMINATION du second point, sur la figure en bas à gauche de l'illustration ci-dessus, est effectuée "intuitivement" car elle correspond à un endroit de DEEP SPACE. PARCE QUE , les satellites GPS sont à leur constellation spécifique (~ leur configuration dans le ciel): plus de 24 satellites GPS, sur 6 plans orbitaux situés à environ 20 000 km au-dessus de vous, et 4 satellites sur chaque plan, à 60 degrés entre ces plans et à une inclinaison de 55 degrés par rapport au plan équatorial, VOUS DONNE 5 à 8 satellites auxquels vous pouvez vous "connecter" depuis (presque) n'importe quel endroit de la Terre et 3 SATELLITES POUR DONNER UN FIX POSITIONNEL EN 3D SUR TERRE. Si nous parlons de localiser des objets "à l'intérieur ET à l'extérieur" de la Terre, BIEN ALORS OUI, vous avez besoin d'au moins un satellite de plus pour éliminer l'un des deux points d'intersection possibles dans la dernière étape. Ce n'était pas la question, était-ce?

En pratique, placer des horloges coûteuses dans les récepteurs GPS est rarement possible / réalisable et 3 véhicules spatiaux (SV) peuvent être utilisés pour calculer un repère 2D horizontal (en latitude et longitude) lorsqu'une certaine hauteur (par exemple z -dimension) la mesure est ASSUMED; vous vous débarrassez donc d'une mesure dimensionnelle sur 4 qui étaient requises à l'origine. La hauteur supposée peut être soit le niveau de la mer, soit l’altitude d’un avion équipé (normalement) d’un altimètre.

C'est la cote de hauteur qui est choisie pour être rejetée, car c'est la plus (relativement) moins importante parmi d'autres. Parmi les 4 mésaurements dimensionnels requis (x, y, z, heure), le temps doit toujours être résolu PARCE QUE les signaux satellites (ondes électromagnétiques) se déplacent à la vitesse de la lumière et atteignent le récepteur en environ 0,07 seconde atomique; par conséquent, une légère inexactitude dans l'horloge interne relativement bon marché du récepteur GPS donnerait un "très mauvais" repère de localisation en raison de la distance supplémentaire que le signal est supposé parcourir à la vitesse extrême de la lumière. Et bien, les deux autres dimensions placeront le récepteur GPS sur une paire (longitude, latitude) à la surface de la planète.

Plus de 4 satellites offrent une meilleure précision en introduisant des «paires de décalage horaire» supplémentaires. Il reste 4 exigences dimensionnelles, mais le nombre d'équations indépendantes augmente et dépasse 4. Cela donnera un système d'équations surdéterminé avec de multiples solutions. Des systèmes surdéterminés sont! Approximés! avec des méthodes numériques, par exemple les moindres carrés. Dans ce cas, la méthode des moindres carrés donnera la position (du récepteur GPS) qui convient le mieux à toutes les mesures de temps (avec des dimensions supplémentaires) en minimisant la somme des carrés des erreurs.

(1) Présentation du système de positionnement global, Peter H. Dana, Département de géographie, Université du Texas à Austin, 1994.
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html
(The Master GPS Installation de contrôle située dans le Colorado, base aérienne de Schriever)

(2) Détermination de la position avec GPS, Dr. Anja Koehne, Michael Wößner, Institut Öko pour l'écologie appliquée, Fribourg-en-Brisgau, Allemagne
http://www.kowoma.de/en/gps/positioning.htm

(3) Un système linéaire sous-déterminé pour GPS, Dan Kalman,
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Polya/Kalman.pdf.

(4) Pour les illustrations colorées
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/figure09.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/ ecefxyz.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/gpsxyz.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/navigate.gif

>> inexactitude

" Quatre surfaces de sphères ne se croisent généralement PAS. Pour cette raison, nous pouvons dire avec certitude que, lorsque nous résolvons les équations de navigation pour trouver une intersection, cette solution nous donne la position du récepteur avec un temps précis, éliminant ainsi la nécessité d'un très grand , horloge gourmande et gourmande en énergie. "
http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#Basic_concept_of_GPS

Il est dit "typiquement" PARCE QUE les mesures sont inexactes; sinon, ils se croiseraient exactement à un point. À partir de 4 satellites, vous obtenez 4 mesures de distance inexactes. La précision dans toutes ces 4 mesures est identique (= dans la même quantité) PARCE QUE les satellites utilisent des horloges atomiques qui les maintiennent parfaitement synchronisées entre elles (et précises par rapport à l’échelle de temps GPS), de plus, , car nous parlons d’un récepteur GPS particulier. Etant donné que nos mesures sont constantes et inexactes, et donc que la précision est constante, il ne peut y avoir qu'une seule valeur de correction réduisant le volume d'intersection de 4 sphères en un seul point d'intersection. Cette valeur représente le temps INaccuracy.

(5) L'horloge UTC est actuellement (2012-11-14) à 16 secondes derrière l'horloge GPS.
http://www.leapsecond.com/java/gpsclock.htm

(6) Comment un récepteur GPS se verrouille, Thomas A. Clark, Centre de vol spatial Goddard de la NASA
http://gpsinformation.net/main/gpslock.htm

(7) Quelle est la précision d'une horloge radiocommandée?, Michael A Lombardi, Division NIST-Time and Frequency, Maryland
http://tf.nist.gov/general/pdf/2429.pdf

Le quatrième satellite est là simplement pour augmenter la précision à un point où il serait utilisable. Toutefois, avec la trilatération 3D, il n’est pas nécessaire de calculer un emplacement. Le GPS nécessite bien cela à cause du problème de précision.

Ressources: GPS trilatération
3D

Toutes ces discussions sur les "sphères qui se croisent" ne peuvent vraisemblablement pas être vraies. Voici pourquoi.

1. Lorsque vous recevez le signal d'un satellite, vous savez où il se trouve parce que cette information a été transmise dans le message et à quelle heure précisément elle a été envoyée. Dans le système GPS, toutes les horloges atomiques sont synchronisées via des signaux de commande du sol avec une précision de plus de 3 nanosecondes. Mais vous ne pouvez pas calculer VOTRE distance par rapport au satellite, et donc à la sphère, car votre heure locale n'est pas la même. Si l'heure locale n'est pas synchronisée avec l'heure satellite de seulement une milliseconde, parce que la lumière se déplace à 299 792 458 mètres par seconde, cela se traduit par une erreur de distance d'environ 300 kilomètres!
2. Avec deux satellites, vous pouvez calculer la distance RELATIVE par rapport aux deux satellites en calculant les différences entre les temps de transmission des deux messages et l’heure locale. Ainsi, vous pouvez tracer votre position le long d'un hyperboloïde en trois dimensions . La surface de l'hyperboloïde décrit toutes les positions de l'espace où les deux différences de temps ont un sens et où vous pourriez vous trouver.
3. Avec trois satellites, vous pouvez calculer DEUX hyperboloïdes. Leur intersection est une hyperbole. Vous pouvez être n'importe où le long.
4. Avec quatre satellites, vous pouvez calculer l’intersection de TROIS hyperboloïdes et déterminer votre position dans l’espace en excluant les effets du retard atmosphérique.

Pour prendre en compte les retards atmosphériques, vous devez comparer les retards de deux signaux envoyés à des fréquences différentes depuis le même satellite ou comparer les lectures du même signal vu depuis deux emplacements différents ("GPS différentiel"). Les systèmes GPS modernes mettent en corrélation les deux signaux militaires cryptés aux fréquences L1 et L2 pour obtenir cette information.

Certaines des réponses sont proches, mais pas tout à fait claires.

Alors que je faisais partie d'une équipe de trois hommes qui a passé deux ans au début des années 90 à développer les premières stations GPS différentielles non militaires dans le sud-ouest de l'Angleterre, nous avons rencontré des questions extraordinaires. 3 ou 4 étant l'un d'entre eux.

Pour expliquer cela, il est préférable de commencer avec un système de radionavigation terrestre. Prenez un signal depuis un point connu connu (station n ° 1) sur la plage et transmettez-le à un navire en mer. Le navire sait depuis combien de temps le faisceau a voyagé et l'emplacement exact de la station n ° 1 - il le sait car le temps qu'il a laissé au point fixe est imprimé sur le signal transmis - par exemple (commencé à 'secondes' et reçu à 'secondes' B - par conséquent, compte tenu de la vitesse de la lumière (C) des ondes radio, le navire doit être (BA) XC à partir de la station n ° 1 - cette réponse est Range1.

Prenez un autre point connu Station2 à partir duquel un signal a été émis en même temps 'A'seconds - mais Station2 se trouve sur un point connu différent qui donne Range2. À partir de Range2, vous savez que votre navire se trouve le long de Range1.

Faites la même chose avec une 3ème station et vous obtenez une intersection de toutes les 3 gammes. Mais ils ne se croisent pas parfaitement ... jamais!

Cela est dû aux conditions atmosphériques, aux interférences et aux retards de propagation qui affectent toutes les ondes radio. Les intersections des 3 plages vous donnent un triangle d'erreur (donc une triangulation) sur un plan à 2 dimensions (X et Y - LAT ET LON ou Nord et Est). Maintenant, afin d’obtenir votre altitude (H), vous avez besoin d’une quatrième plage (vous l’aurez deviné - plage4) qui vous donnera une position tridimensionnelle - XY et Z - LAT LON et Height.

Maintenant, prenez toutes vos stations et collez-les dans l'espace sous forme de GPS et votre vaisseau est positionné quelque part dans un triangle d'erreur 3D à 4 faces légèrement courbé de tous les côtés.

La réponse est là: (en 2D, vous avez besoin de 2 hyperboles (3 satellites) en 3D, vous avez besoin de 3 hyperboloïdes (4 satellites), Desmond Schmidt a raison)

http://hayabusa.slovakforum.net/t263-topic#2570

... désolé, il est en langue slovaque (mon anglais est mauvais), mais des images et de petits calculs expliquent tout, et vous pouvez utiliser le traducteur Google.