Les trois premières valeurs qui décrivent un avion 3D sont-elles réellement un vecteur 3D?

Un plan 3D est généralement défini comme a,b,c,d. Sont en a,b,créalité les x,y,zcoordonnées d'un vecteur 3d, avec la ddéfinition de la rotation du plan, quelque chose comme des données de rotation axe angle?

La représentation à quatre variables d'un plan est les coefficients de l'égalité

hache + par + cz = d

Cela peut être vu comme N = ( a , b , c ) étant un vecteur normal et d étant une distance de l'origine des coordonnées (en unités de la longueur de N ), et nous pouvons également écrire cette équation comme N · P = d , où P = ( x , y , z ).

Cette représentation ne permet pas de définir une "origine du plan" spécifique - les plans mathématiques n'ont pas d'origines. (Cependant, il arrive que puisque N · P = d nous pouvons définir P = ( d | N | ^-2 ) N et obtenir un point spécifique sur le plan: le point qui est le plus proche de l'origine du système de coordonnées .)

Si vous changez le = en <ou>, vous décrivez un "demi-espace", qui peut être utilisé pour des choses comme un plancher infini dans un moteur physique; le demi-espace opposé est obtenu en annulant à la fois N et d .

"Typiquement" est un mot assez subjectif, selon mon expérience, il existe différentes manières de décrire un avion dans un espace 3D qui sont plus courantes en raison des propriétés que ces constructions montrent.

À propos de votre question, il ne reste plus qu'à utiliser 4 valeurs réelles pour déterminer un plan dans un espace 3D. Comme vous l'avez souligné, a, b, c peuvent être les composantes d'un vecteur perpendiculaire au plan souhaité. Si N = (a, b, c) est notre vecteur perpendiculaire, vous pouvez trouver un point dans votre plan qui est P = d N pour certains d réels et positifs. Ici vous dites que d est la distance de l'origine en terme de N ; si N est un vecteur unitaire, alors d est la distance entre l'origine et votre avion de la manière dont le terme "distance" est couramment utilisé.

Étonnamment, vous pouvez définir n'importe quel éventuel bac orienté , vous pouvez utiliser des valeurs négatives de d ; ce faisant, vous perdez le sens direct de d comme distance jusqu'à ce que vous le mettiez dans une valeur absolue ( | d | ).

Autant que je sache, un avion est généralement défini par une position, pour nous dire où est l'origine, et une normale pointant vers le haut depuis l'avion pour nous dire quelle orientation nous avons. Il est courant d'utiliser deux vecteurs pour cela.

Avec quatre variables, vous n'avez pas assez de variables pour définir un plan qui n'a pas d'origine à (0,0,0) ou pas assez de variables pour prendre en compte toutes les rotations.

Le minimum dont nous aurions besoin pour un avion dans un espace euclidien 3D avec une origine qui n'est pas à (0,0,0) et qui peut être orienté comme nous le voulons est 5. Imaginez la sphère unitaire, nous avons besoin de 3 variables pour définir où l'origine de la sphère unitaire est (X, Y, Z). Ensuite, nous avons besoin de deux variables pour définir où se trouve le «haut» de l'avion. Nous pouvons le faire en utilisant le vecteur décrit en allant de l'origine de la sphère vers sa surface étant donné une latitude et une longitude.

Comment vous reconstruiriez un avion avec seulement quatre variables, je ne sais pas. Peut-être que vous travaillez dans un domaine étroit (le plan est toujours à (0,0,0) et les quatre variables sont un quaternion?) Ou les variables ne sont pas scalaires? Dans quel contexte utilisez-vous ceci a, b, c, d?