Quelle est la différence entre le moment d'inertie polaire, et la constante de torsion, d'une section efficace?

Cette question est tellement fondamentale que je suis presque gênée de la poser, mais elle est venue au travail l'autre jour et presque personne au bureau n'a pu me donner une bonne réponse. Je calculais la contrainte de cisaillement dans un membre en utilisant l'équation, et remarqué que pour un arbre avec une section circulaire, .$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

Les deux et sont utilisés pour décrire la capacité d'un objet à résister à la torsion. est défini comme, où = la distance radiale à l'axe autour duquel est calculé. Mais n'a pas d'équations analytiques exactes et est calculé en grande partie avec des équations approximatives sur lesquelles aucune référence que j'ai examinée n'a vraiment été élaborée.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Donc, ma question est, quelle est la différence entre le moment d'inertie polaire, , et la constante de torsion, ? Non seulement mathématiquement, mais pratiquement. De quelle propriété physique ou géométrique chacune est-elle une représentation? Pourquoi est- si difficile à calculer?$I_P$$J_T$$J_T$

La constante de torsion relie l'angle de torsion au couple appliqué via l'équation: où est le couple appliqué, est la longueur de l'élément, est le module d'élasticité en cisaillement et est la constante de torsion.$J_T$

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

Le moment d'inertie polaire, d'autre part, est une mesure de la résistance d'une section efficace à la torsion avec une section transversale invariante et sans déformation significative .

Le cas d'une tige circulaire sous torsion est particulier en raison de la symétrie circulaire, ce qui signifie qu'elle ne se déforme pas et que sa section ne change pas sous la torsion. Donc .$J_T = I_P$

Lorsqu'un membre n'a pas de symétrie circulaire, on peut s'attendre à ce qu'il se sous torsion et donc .$J_T \neq I_P$

Ce qui laisse le problème de savoir comment calculer . Malheureusement, ce n'est pas simple, c'est pourquoi les valeurs (généralement approximatives) pour les formes courantes sont tabulées.$J_T$

Une façon de calculer la constante de torsion est d'utiliser la fonction de contrainte de Prandtl (une autre est d'utiliser des fonctions de déformation ).

Sans entrer dans les détails, il faut choisir une fonction de contrainte de Prandtl qui représente la distribution des contraintes au sein du membre et satisfait aux conditions aux limites (pas facile en général!). Il doit également satisfaire l'équation de compatibilité de Poisson: Où est l'angle de torsion par unité de longueur.$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

Si nous avons choisi la fonction de contrainte de sorte que sur la frontière (condition aux limites sans traction) nous pouvons trouver la constante de torsion par: $\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Exemple: tige de section circulaire

En raison de la symétrie d'une section circulaire, nous pouvons prendre: où R est le rayon extérieur. On obtient alors:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Exemple: tige de section elliptique

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ et qui n'est certainement pas égal au moment d'inertie polaire de une ellipse: $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Comme en général , si vous le moment d'inertie polaire au lieu de la constante de torsion, vous calculeriez des angles de torsion plus petits.$J_T < I_P$

C'est presque une coïncidence, et cela n'est vrai que pour les sections transversales circulaires pleines ou creuses. Bien entendu les arbres porteurs de torsion sont souvent circulaires, pour des raisons indépendantes de la question!

La torsion d'un arbre circulaire est physiquement simple en raison de la symétrie de la forme circulaire. Par symétrie, les contraintes et déformations en tout point ne peuvent être que fonction de la distance radiale par rapport à la ligne médiane de l'arbre. Selon le théorème de Pythagore, vous pouvez prendre une paire d'axes arbitraire et exprimer le rayon comme .$r^2 = x^2 + y^2$

En utilisant ce fait, vous pouvez convertir l'intégrale sur la section transversale en la somme de deux intégrales dans les directions et , et encore par symétrie ces deux intégrales doivent être égales l'une à l'autre.$x$$y$

La forme des intégrales se trouve être exactement la même forme mathématique que pour les seconds moments de l'aire d'un faisceau circulaire, ce qui conduit au résultat que vous avez demandé.

Cela ne fonctionne pas pour les sections non circulaires, car la distribution des contraintes n'est pas radialement symétrique. Par exemple, si vous comparez la constante de torsion et le moment polaire d'une section carrée solide, vous constaterez que les «constantes» dans les deux formules sont différentes. Plus la section s'écarte d'un cercle, plus la différence sera grande.

La constante de torsion pour une section de forme complexe (par exemple une poutre en I) est difficile à calculer car la distribution des contraintes sur la section est compliquée, et il n'y a pas de "formule" simple à intégrer mathématiquement. De nombreuses formules de torsion dans les manuels d'ingénierie sont basées sur des hypothèses simplifiées plutôt que sur des solutions mathématiques "exactes".

Mais dans la réalité, les "erreurs" ne sont pas trop importantes, car lorsqu'une charge de torsion est appliquée à une structure non circulaire, les sections transversales "se déforment", c'est-à-dire qu'elles ne restent plus planes . Dans la vraie vie, la quantité de déformation est souvent inconnue, car les contraintes aux extrémités de la tige l'affectent. Si vous avez vraiment besoin d'une estimation précise de la rigidité en torsion d'un composant non circulaire, vous devez faire un modèle 3D complet du composant lui-même et comment il est fixé au reste de la structure. Si vous créez un modèle avec ce niveau de détail, il ne sert à rien de réduire la réponse à un seul chiffre pour pouvoir l'appeler "la rigidité en torsion".

Le moment d'inertie polaire, Ip, est la résistance d'un solide à torsion. Cependant, le moment d'inertie de la masse en rotation, J, est le moment d'inertie d'un solide en rotation. Voir ce web .

Si je comprends bien, J est le même que le moment normal d'inertie, mais pour les objets en rotation.