Pourquoi Mach 0,3 est le seuil séparant le flux compressible et incompressible?

J'ai lu que Mach 0,3 est à peu près la limite supérieure pour traiter l'air comme un fluide incompressible. Les sources que j'ai lues semblent traiter cela comme une donnée, sans preuve ni justification.

Pourquoi est-ce la limite? Y a-t-il une justification mathématique à cela? De plus, cette limite s'applique-t-elle uniquement à l'air? Sinon, de quoi dépend la limite?

fluid-mechanics

— Paul
source

Wikipédia donne la raison de Mach 0,3 en raison du fait que cela entraîne un changement de densité d'environ 5%.

J'ai trouvé une page de la NASA qui décrit (analytiquement!) La relation. J'ai cité la source, mais je reproduirai l'œuvre ici pour la postérité, au cas où leurs liens changeraient.

Commencez par la conservation de l'élan:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

où est la densité du fluide, est la vitesse et est la pression. pour écoulement isentropique: $\rho$ $V$ $p$

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

où est le rapport thermique spécifique. La loi du gaz idéal donne: $\gamma$

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

où est la constante de gaz spécifique et est la température absolue. Donc, en remplaçant: $R$ $T$

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

La vitesse du son peut être calculée par:

γ R T = a^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

où est la vitesse du son, donc: $a$

d p = a^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

La substitution de l'expression ci-dessus à la conservation de l'équation de moment donne:

(ρ V) ré V = - {une}^{2} ré ρ - (\frac{V^{2}}{{une}^{2}}) ré V / V = ré ρ / ρ - M^{2} ré V / V = ré ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

où est le nombre de Mach. Cela donne un nombre de Mach de 0,3 qui correspond à un changement de densité d'environ 5%. $M$

À noter, cela est basé sur le nombre de Mach, qui à son tour dépend de la vitesse du son dans le gaz, il est donc automatiquement ajusté pour chaque gaz.

— Mandrin
source

@Paul, cela est dérivé de la conservation de l'élan. ce n'est pas tant une "règle" qu'une suggestion. si vous ne vous souciez pas des changements de densité (ou d'autres quantités) de 10% (ou plus), allez-y et utilisez les relations incompressibles pour les nombres de Mach élevés. si vous vous souciez des petits changements de densité, utilisez les relations compressibles même pour les faibles nombres de Mach

— costrom

Ce n'est pas seulement la densité. Lorsque nous ne dimensionnons pas les équations, nous obtenons des groupes sans dimension. La règle générale est que si un groupe sans dimension est inférieur à 0,1, nous pouvons ignorer les termes pertinents. Dans le cas du nombre de Mach, il apparaît au carré. Nous voulons donc le (nombre de Mach) ^ 2 <0,1. Cela donne environ 0,3. Ce n'est pas seulement la densité - fondamentalement, tout ce qui change à une vitesse plus élevée sera affecté par environ 10% une fois que le nombre de Mach atteindra 0,3.

— Joel

@Joel - Pour le contexte, OP posait des questions sur la compressibilité en particulier, c'est pourquoi cette réponse ne couvre que la densité.

— Chuck

Je voudrais préciser que ce n'est pas une ligne de démarcation nette. Si vous avez une tolérance inférieure aux erreurs, commencez à utiliser la solution compressible à des nombres de mach inférieurs. Si vous ne vous en souciez pas autant, continuez d'assumer l'incompressibilité à des nombres de mach plus élevés. 10% est juste un choix arbitraire de la quantité d'erreur "vraiment importante", et 0,3 en tombe mathématiquement, mais pas moins arbitrairement.

— hobbs

@chuck - taquiner ici, mais traiter quelque chose comme un fluide incompressible signifie que je peux dire que la divergence du champ de vitesse est de 0. Cela affecte beaucoup plus que la densité - au point que lorsque je vais parler et que quelqu'un dit il suppose que c'est un fluide incompressible, ce n'est généralement pas une déclaration sur la densité.

— Joel