Réponse d'un système à une fonction pas à pas (fonction Heaviside)

Je voudrais calculer la réponse à une fonction de pas d'un système électrique / thermique. Généralement, je peux "facilement" calculer la fonction de transfert : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Puisque la transformée de Fourier ( ) de la fonction Heaviside est (calculée avec WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

Ainsi, notant la transformée de Fourier inverse: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

Pour vérifier mes calculs, j'ai essayé de calculer la réponse pour un système RC simple:

Je devrais obtenir la charge bien connue du condensateur. La fonction de transfert:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

En calculant la transformée de Fourier inverse ( ) avec WA ( ) j'obtiens: $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

Ce serait correct si nous remontions le temps: /. Alors la question est ... Qu'est-ce que je fais mal?

J'ai fait de même en utilisant Laplace Transforms et tout fonctionne bien ... Mais je ne comprends pas pourquoi.

PS Je ne veux pas d'une autre méthode, je veux juste comprendre ce qui ne va pas dans mon approche.

PS la raison pour laquelle j'utilise WA est que pour mon système plus compliqué j'ai besoin de calculer les transformées de Fourier en utilisant WA.

— Worldsheep
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Ce n'est pas la réponse que vous recherchez, mais cet article sur la façon d'effectuer une transformation Laplace inverse discrète pour pratiquement n'importe quelle fonction de transfert peut vous intéresser.

— user5108_Dan

Merci pour le lien intéressant! J'essaie toujours de comprendre pourquoi les transformations de Laplace sont nécessaires. Ou mieux, pourquoi les transformées de Fourier ne fonctionnent pas ...

— Worldsheep

Connaissez-vous Laplace Transforms? Les transformées de Laplace et de Fourier sont assez similaires, mais je ne suis pas un assez bon mathématicien pour décrire les différences exactes. Les EE fonctionnent généralement dans le domaine s (transformée de Laplace) qui serait la même que votre équation H (w) si vous remplacez replace jw par s. De plus, vous obtiendrez probablement une meilleure réponse si vous postez cette question sur le site dsp.stackexchange.com. Ces gars-là sont en phase avec ce genre de choses.

— user5108_Dan

Oui, j'ai remarqué que EE fonctionne toujours avec Laplace dans ces cas et quand j'ai essayé, cela a bien fonctionné! Mais intuitivement, j'utiliserais Fourier. Je suivrai vos conseils et je visiterai l'autre site!

— Worldsheep

Vous pouvez trouver une réponse à cette question ici: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

La raison principale est probablement due à Wolfram Alpha appliquant la transformée de Fourier inverse comme deuxième transformée de Fourier. En fait, cela fait "basculer le temps" - comme on peut le voir mathématiquement :

$\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

L'application de la transformée de Fourier 3 fois au système vous permettra d'obtenir la version en temps normal. Étant donné que les vagues sont cohérentes dans le temps, cela n'a généralement pas d'importance.

— marque
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