Flambement: existe-t-il en réalité des formes en mode flambement de n> 1?

Dans le flambement des colonnes, nous savons que:

P = \frac{n^{2} π^{2} E I}{L^{2}}

$P = \dfrac{n^2\pi^2EI}{L^2}$

La plus petite valeur de P se produit lorsque $n=1$ ce qui donne une forme de flambement simple (une onde):

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}}

$P_{cr} = \dfrac{\pi^2EI}{L^2}$

Cependant pour $n > 1$ , comme illustré ci-dessous, la forme de flambement est plus complexe et comporte de nombreuses vagues:

Ma question est la suivante: les formes du mode de flambement pour se produisent-elles réellement? Si la colonne commence à se déformer selon la forme pour , ne continuerait-elle pas à se déformer comme ça jusqu'à l'échec? Comment les autres modes de flambement se produiraient-ils? $n > 1$ $n = 1$

— pauloz1890
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Réponses:

L'existence ou non de modes de flambement avec dépend de la façon dont vous regardez la structure. $n>1$

$n>1$ $n=1$ $n>1$ $n=1$

$n>1$ $n=1$

\begin{aligned} P & = {(\frac{n}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{c o l u m n, n = 2} & = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{s e g m e n t, n = 1} & = {(\frac{1}{\frac{L}{2}})}^{2} π^{2} E I = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ ∴ P_{c o l u m n, n = 2} & = P_{s e g m e n t, n = 1} \end{aligned}

$\begin{align} P &= \left(\dfrac{n}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{column,\,n=2} &= \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{segment,\,n=1} &= \left(\dfrac{1}{\frac{L}{2}}\right)^2\pi^2EI = \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ \therefore P_{column,\,n=2} &= P_{segment,\,n=1} \end{align}$

— Wasabi
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Si vous regardez la colonne comme étant prise en charge aux extrémités, vous avez raison de dire que le mode n = 1 donne la charge de flambement la plus faible.

Les autres modes (n = 2,3, ...) ne sont cependant pas inutiles. Les longues colonnes sont souvent entretoisées à intervalles réguliers pour réduire la longueur non entretenue de la colonne. Pour une longueur de colonne donnée, ces entretoises forcent la colonne à fléchir sous un mode différent (n = 2,3, ...) avec l'augmentation correspondante de la charge de flambement.

— hazzey
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Je ne savais pas que les formes de mode faisaient référence au contreventement des colonnes, mais cela a vraiment du sens maintenant que j'y pense.

— pauloz1890

Mais la charge du mode global de la colonne ne serait-elle pas égale au mode de l'un de ses segments sans contreventement? Cela signifie que l'existence de modes dépend de la façon dont vous regardez la structure. Si vous le regardez dans une perspective globale, alors oui, modes sont possibles. Si, cependant, vous regardez les segments locaux qui composent la structure, alors seulement modes existent. @ pauloz1890

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

— Wasabi

@Wasabi Oui, je pense que c'est ce qui m'a dérouté, vous avez raison.

— pauloz1890

Comme l'a noté @Wasabi, seuls modes existent lors de l'examen du contreventement. Pour voir pourquoi, notez que dans le cas , . Alors qui est identique au cas mais pour une colonne plus courte. Il en va naturellement de même pour tout . Tout cela devrait avoir un sens puisque le haut et le bas de la colonne globale d'origine peuvent être considérés comme étant renforcés dans le même sens (au moins avec ces conditions aux limites).

n = 1

$n=1$

n = 2

$n=2$

L_{s e g m e n t} = L_{g l o b a l} / 2

$L_{segment}=L_{global}/2$

P = 4 π^{2} E I / (4 L_{s e g m e n t}^{2}) = π^{2} E I / L_{s e g m e n t}^{2}

$P=4\pi^2 EI/(4L_{segment}^2)=\pi^2 EI/L_{segment}^2$

n = 1

$n=1$

n

$n$

— wwarriner

@SamWatkins, en effet, les cas ne sont pas indépendants. Ils ne pouvaient pas l'être, car nous parlons d'une seule colonne monolithique avec contreventement. Si les deux sections se déformaient du même côté, il y aurait une discontinuité dans l'angle de déformation de la colonne, ce qui est impossible. L'affirmation selon laquelle les modes sont en fait qu'une série de modes 1 ne signifie pas que chacun des modes 1 est indépendant, mais plutôt qu'un mode ne se produit dans le monde réel que s'il peut être composé par un série de modes 1 continus.

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

— Wasabi