Comment déterminer la longueur caractéristique dans les calculs du nombre de Reynolds en général?

Je comprends que le nombre de reynolds est donné par l'expression , oùest la densité,est la vitesse du fluide etest la viscosité dynamique. Pour tout problème de dynamique des fluides donné,,etsont donnés trivialement. Mais quelle est exactement la longueur caractéristique? Comment puis-je le calculer exactement? Que puis-je utiliser à partir d'un problème donné pour déterminer automatiquement la longueur caractéristique? $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics

— Paul
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Pourriez-vous expliquer pourquoi le numéro Reynolds est la similitude qui décrit votre problème de flux?

— rul30

Réponses:

Je voudrais aborder cette question dans une perspective mathématique qui peut être fructueuse comme discuté dans certains des commentaires et réponses. Les réponses données sont utiles, mais je voudrais ajouter:

En général, la plus petite échelle de longueur disponible est l'échelle de longueur caractéristique.
Parfois (par exemple dans les systèmes dynamiques) il n'y a pas d'échelle de longueur fixe à choisir comme échelle de longueur caractéristique. Dans de tels cas, une échelle de longueur dynamique peut souvent être trouvée.

Échelles de longueur caractéristiques:

TL; DWTR: pour , est l'échelle de longueur caractéristique; pour , est l'échelle de longueur caractéristique. Cela implique que la plus petite échelle de longueur est (généralement) l'échelle de longueur caractéristique. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Considérez le cas d'écoulement de tuyau discuté dans les autres réponses; il y a le rayon mais aussi la longueur du tuyau. Habituellement, nous considérons le diamètre du tuyau comme l'échelle de longueur caractéristique, mais est-ce toujours le cas? Eh bien, regardons cela d'un point de vue mathématique; définissons les coordonnées adimensionnelles: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Ici, , , , sont des échelles de coordonnées et de vitesse - mais pas nécessairement leurs échelles caractéristiques. A noter que le choix de l'échelle de pression n'est valable que pour . Le cas nécessite une mise à l'échelle. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Transformer l'équation de continuité en quantités sans dimension:

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

ce qui ne peut être le cas que si nous supposons ou . Sachant cela, le nombre de Reynolds peut être redéfini: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

De même, transformons les équations de Navier-Stokes ( composant uniquement pour le garder court): Nous voyons ici le nombre de Reynolds se produire naturellement dans le cadre de la processus de mise à l'échelle. Cependant, selon le rapport géométrique , les équations peuvent nécessiter un rééchelonnement. Considérez les deux cas: $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

Le rayon du tuyau est beaucoup plus petit que la longueur du tuyau (c'est-à-dire ): $R/L\ll1$

L'équation transformée se lit alors: Ici, nous avons un problème car le terme pourrait être très grand et une équation correctement mise à l'échelle n'a que des coefficients ou plus petits. Nous avons donc besoin d'un redimensionnement de la coordonnée , de la vitesse et de la pression :
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Ce choix de quantités remises à l'échelle garantit que l'équation de continuité reste de la forme: The Navier-Stokes équations en termes de quantités remises à l'échelle: qui est correctement mis à l'échelle avec coefficients de ou moins lorsque nous prenons les valeurs . Cela indique que l'échelle de pression n'a pas eu besoin d'être rééchelonnée, mais les échelles de longueur et de vitesse ont été redéfinies: $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ et on voit que la longueur caractéristique et de l' échelle de vitesse pour respectivement et ne sont pas et comme supposé au début , mais et . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
Le rayon du tuyau est beaucoup plus grand que la longueur du tuyau (c.-à-d. ) $R/L\gg1$ :

L'équation transformée se lit alors: De la même manière que dans le cas précédent, peut être très volumineux et nécessite une mise à l'échelle. Sauf que cette fois, nous avons besoin d'un redimensionnement de la coordonnée , de la vitesse et de la pression : Ce choix de quantités redimensionnées garantit à nouveau que l'équation de continuité reste de la forme:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Les équations de Navier-Stokes en termes de quantités remises à l'échelle donnent: qui est correctement mis à l'échelle avec des coefficients de ou plus petit quand on prend les valeurs . Cela indique que la longueur, les vitesses et les échelles de pression ont été redéfinies: $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ et nous voyons que les échelles caractéristiques de longueur, de vitesse et de pression pour respectivement , et ne sont pas , , comme supposé au début mais , et . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

Au cas où vous auriez oublié le point de tout cela: pour , est l'échelle de longueur caractéristique; pour , est l'échelle de longueur caractéristique. Cela implique que la plus petite échelle de longueur est (généralement) l'échelle de longueur caractéristique. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Échelles de longueur dynamiques:

Considérons la diffusion d'une espèce dans un domaine semi-infini. Comme il est infini dans une direction, il n'a pas d'échelle de longueur fixe. Au lieu de cela, une échelle de longueur est établie par la «couche limite» pénétrant lentement dans le domaine. Cette «longueur de pénétration», comme on appelle parfois l'échelle de longueur caractéristique, est donnée par:

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

où est le coefficient de diffusion et est le temps. Comme on le voit, il n'y a pas d'échelle de longueur impliquée car elle est complètement déterminée par la dynamique de diffusion du système. Pour un exemple d'un tel système, voir ma réponse à cette question. $D$ $t$ $L$

— nluigi
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Qu'entendez-vous exactement par disponible lorsque vous dites "la plus petite échelle de longueur disponible "? Qu'est-ce qui détermine exactement ce qui est disponible et ce qui ne l'est pas?

— Paul

@Paul «disponible» était censé être lié à des échelles de longueur géométriques évidentes comme la longueur, la hauteur, la largeur, le diamètre, etc.

— nluigi

Existe-t-il une justification particulière pour l'utilisation générale de la "plus petite longueur disponible" par opposition à toute autre longueur disponible?

— Paul

@Paul Les gradients sont généralement les plus grands là-bas, donc la majeure partie du transport se produit aux petites échelles de longueur

— nluigi

merci d'avoir mis cela ensemble. idk si son droit tho

— Dan Powers

Il s'agit d'une question pratique, empirique et non théorique qui peut être «résolue» par les mathématiques. Une façon d'y répondre est de partir de ce que le nombre de Reynolds signifie physiquement: il représente le rapport entre les forces d'inertie "typiques" et les forces visqueuses dans le champ d'écoulement.

Ainsi, vous regardez un modèle d'écoulement typique et choisissez la meilleure mesure de longueur pour représenter ce rapport de forces.

Par exemple, lors de l'écoulement à travers un tuyau circulaire, les forces visqueuses (cisaillement) dépendent du profil de vitesse de l'axe du tuyau aux parois. Si la vitesse le long de l'axe du tuyau reste la même, le doublement du rayon divisera (grossièrement) de moitié le taux de cisaillement entre l'axe et les murs (où la vitesse est nulle). Le rayon ou le diamètre sont donc un bon choix pour la longueur caractéristique.

Évidemment, Re sera différent (d'un facteur 2) si vous choisissez le rayon ou le diamètre, donc en pratique tout le monde fait le même choix et tout le monde utilise la même valeur critique de Re pour la transition de l'écoulement laminaire à l'écoulement turbulent. D'un point de vue technique pratique, la taille d'un tuyau est spécifiée par son diamètre car c'est ce qui est facile à mesurer, vous pouvez donc aussi bien utiliser le diamètre de Re.

Pour un tuyau qui est approximativement circulaire, vous pouvez décider (par un type d'argument physique similaire) que la circonférence du tuyau est vraiment la longueur la plus importante, et donc comparer les résultats avec des tuyaux circulaires en utilisant un "diamètre équivalent" défini comme (circonférence / pi).

D'un autre côté, la longueur du tuyau n'a pas beaucoup d'influence sur le modèle d'écoulement du fluide, donc pour la plupart des utilisations, ce serait un mauvais choix de longueur caractéristique pour Re. Mais si vous envisagez un débit dans un "tuyau" très court où la longueur est bien inférieure au diamètre, la longueur peut être le meilleur nombre à utiliser comme paramètre décrivant le débit.

— alephzero
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Je ne suis pas d'accord avec votre affirmation selon laquelle les mathématiques ne peuvent pas aider ici. La procédure que vous décrivez serait inutile dans de nombreux cas sans échelles de longueur évidentes, comme une couche limite. Telle est la question à portée de main. L'analyse dimensionnelle des équations gouvernantes s'est avérée très utile pour trouver des échelles de longueur pertinentes dans les couches limites laminaires et turbulentes, par exemple, l'échelle de l'épaisseur de la couche limite laminaire et les échelles de longueur visqueuses, respectivement. La mise à l'échelle en champ lointain des panaches thermiques est un autre cas où il est beaucoup moins évident de faire l'analyse que vous proposez, mais l'analyse dimensionnelle aide.

— Ben Trettel

@BenTrettel - Je suis d'accord qu'une analyse dimensionnelle peut grandement aider à déterminer l'échelle de longueur caractéristique. Voir ma réponse pour un exemple «simple».

— nluigi

Il existe trois façons principales de déterminer quels groupes de termes (plus généraux que les échelles de longueur ou de temps) sont pertinents. Le premier est en mathématiques, ce qui pourrait impliquer de résoudre un problème ou un problème analogue ou approprié analytiquement et de voir quels termes apparaissent et de faire des sélections qui simplifient les choses comme il convient (plus de détails ci-dessous). La deuxième approche est plus ou moins par essais et erreurs. Le troisième est un précédent, généralement quand quelqu'un d'autre dans le passé a déjà fait une sorte d'analyse mentionnée précédemment dans ce problème ou dans des analyses connexes.

Il existe plusieurs façons de faire une analyse théorique, mais une des plus utiles en ingénierie est la non-dimensionnalisation des équations gouvernantes. Parfois, la longueur caractéristique est évidente, comme c'est le cas dans un écoulement de tuyau. Mais d'autres fois, il n'y a pas de longueurs caractéristiques évidentes , comme c'est le cas dans les écoulements à cisaillement libre, ou une couche limite. Dans ces cas, vous pouvez faire de la longueur caractéristique une variable libre et en choisir une qui simplifie le problème . Voici quelques bonnes notes sur la non-dimensionnalisation , qui ont les suggestions suivantes pour trouver des échelles de temps et de longueur caractéristiques:

(toujours) Faites autant de constantes non dimensionnelles égales à une que possible.

(généralement) Faites en sorte que les constantes qui apparaissent dans les conditions initiales ou aux limites soient égales à un.

(généralement) S'il existe une constante non dimensionnelle qui, si nous la fixions à zéro, simplifierait considérablement le problème, lui permettrait de rester libre et verrait alors quand nous pourrions la réduire.

L'autre approche principale consiste à résoudre entièrement un problème et à voir quels groupes de termes apparaissent. Généralement, la longueur pertinente est évidente si vous saisissez le terme de ce type d'analyse théorique, bien que ce type d'analyse soit souvent plus facile à dire qu'à faire.

Mais comment trouver une bonne longueur si vous n'avez pas d'analyse théorique à partir de laquelle? Souvent, peu importe la longueur que vous choisissez. Certaines personnes semblent penser que cela prête à confusion, car on leur a appris que la transition de turbulence se produit à de 2300 (pour un tuyau), ou 500 000 (pour une plaque plate). Sachez que dans le boîtier du tuyau, peu importe si vous choisissez le diamètre ou le rayon. Cela met à l'échelle le nombre critique de Reynolds d'un facteur deux. Ce qui importe, c'est de s'assurer que tous les critères que vous utilisez correspondent à la définition du nombre de Reynolds que vous utilisez et au problème que vous étudiez . C'est la tradition qui dicte que nous utilisons le diamètre pour les écoulements de tuyaux. $Re$

De plus, pour être général, l'analyse ou l'expérimentation pourrait suggérer un autre nombre, par exemple le nombre de Biot, qui a également une "longueur caractéristique". Les procédures dans ce cas sont identiques à celles déjà mentionnées.

Parfois, vous pouvez effectuer une analyse heuristique pour déterminer la longueur pertinente. Dans l'exemple du nombre de Biot, cette longueur caractéristique est généralement donnée comme le volume d'un objet divisé par sa surface, car cela a du sens pour les problèmes de transfert de chaleur. (Volume plus grand = transfert de chaleur plus lent vers le centre et plus grande surface = transfert de chaleur plus rapide vers le centre.) Mais je suppose qu'il est possible de déduire cela de certaines approximations. Vous pouvez faire un argument similaire justifiant le diamètre hydraulique .

— Ben Trettel
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Si je choisis arbitrairement L et que le problème n'est pas canonique, de sorte que les régimes d'écoulement et les solutions analytiques ne sont pas connus a priori, alors les essais et erreurs sont vraiment le seul moyen?

— Paul

Je ne pense pas. Vous pourriez être en mesure d'obtenir quelque chose d'utile en ne dimensionnant pas les équations gouvernantes pertinentes avec des échelles de longueur et de temps arbitraires. Il s'agit généralement de ma première étape lors de l'analyse d'un problème avec des équations gouvernantes claires mais sans échelles de longueur ou de temps claires. Si vous ne savez pas comment procéder dans votre cas particulier, postez-le sous forme de question ici et je vais essayer.

— Ben Trettel