Diffusion externe: calcul de la concentration en surface

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Je me bats un peu avec un problème de diffusion externe. J'essaie de calculer la concentration à la surface (ainsi que le taux de réaction en surface) et je voudrais de l'aide ou des conseils.

Voici ce que j'ai jusqu'à présent.

La réaction qui a lieu, est

$ré$

Je veux calculer la concentration de B à la surface d'une particule de catalyseur sphérique.

Flux:

$ré$

Maintenant, à partir de l'équation de diffusion:

$ré$ .

R_A peut être approximé par la vitesse de réaction du premier ordre

$ré$

donc

$ré$

(ignorez simplement le " 2" après le =)

Maintenant, les conditions aux limites que je pense que je devrais utiliser, sont

$ré$

Notez , à tout moment, j'ai déjà les valeurs des concentrations en vrac de tous les composants, et j'ai aussi des valeurs pour D_i,jet D_i,mixpour tous i,j .

Mes conditions aux limites sont-elles choisies correctement pour résoudre la concentration de surface de B (c.-à-d. C_B ou y_B ou P_B, qui sont toutes liées)?

Éditer:

J'ai besoin de valeurs de surface pour le calcul du facteur d'efficacité. Je peux utiliser n'importe quelle façon pour calculer les valeurs de surface avec les valeurs que j'ai déjà.

J'ai choisi r pour être n'importe quel point dans la direction radiale, même "au-delà" de la sphère (en passant de r = 0, le centre), delta = l'épaisseur de la couche limite.

Modifier 2:

Il semble que je l'ai peut-être trop compliqué. Sur cette base vidéo, le volume de contrôle considéré n'est que la partie gazeuse - la couche limite. Ceci est correct, car la réaction est supposée avoir lieu uniquement à la surface du catalyseur et non dans la phase gazeuse elle-même.

$R_B=0$

$\therefore \large{ \frac{\partial }{\partial r}\left ( r^2 \frac{2cD_{B,\text{mix}}}{y_B-2} \frac{\partial y_B}{\partial r} \right)=0}$

Donc, à et $y_B(0)=y_{B,\text{surf}}$ $y_B(\delta)=y_{B,\text{bulk}}$

!! Ahh, je viens de réaliser une erreur dans mes conditions aux limites. À , nous sommes au centre de la sphère, de sorte que la condition aux limites est incorrecte. !! $r=0$

Alors réessayons:

En et $y_B(r=r_{sphere})=y_{B,\text{surf}}$ $y_B(\delta)=y_{B,\text{bulk}}$

Depuis Matlab : $\large{y_B= 2+{\left (y_{B,\text{bulk}}-2 \right )} \left ( \frac{y_{B,\text{surf}}-2}{y_{B,\text{bulk}}-2} \right )^{\left (\frac{r_{\text{sphere}}\left ( \delta -r \right )}{r\left ( \delta -r_{\text{sphere}} \right )} \right )} }$

Maintenant quoi? Comment obtenir les valeurs de concentration de surface? Puisque je ne connais pas l'épaisseur de la couche limite ( )? $\delta$

— Mierzen
source

D'abord; une image vaut mille mots, cela aiderait grandement à comprendre le problème. Deuxièmement; Pouvez-vous indiquer quels sont vos nombres adimensionnels pertinents (Dahmkohler) et leur valeur? Par exemple, si vous pouvez par approximation dire que la concentration en surface de votre réactif limitant est nulle.

Da ≫ 1

$\text{Da}\gg1$

— nluigi

1

De la manière dont vous avez résolu votre problème, vous avez traité la concentration à la surface de la sphère comme connue ( ). Notez que dans votre réponse finale, si vous branchez tout ce que vous obtiendrez sera . Au lieu de cela, votre condition aux limites à la surface devrait ressembler à ceci: $y_{B,\text{surf}}$ $r=r_\text{sphere}$ $y_{B,\text{surf}}$

N_{B, r} = - K_{1} P_{B}^{0.5} = - K_{1} y_{B}^{0.5} P^{0.5}

$N_{B,r}=-K_1P_B^{0.5}=-K_1y_B^{0.5}P^{0.5}$

Ici, vous assimilez le flux à la surface de la particule de catalyseur (où la réaction se produit) à la vitesse de réaction. En réarrangeant, vous pouvez écrire qu'à , est: $r=r_\text{sphere}$ $y_{B,\text{surf}}$

{(\frac{N_{B, r}}{- K_{1} P^{0.5}})}^{2}

$\left(\frac{N_{B,r}}{-K_1P^{0.5}}\right)^{2}$

Vous pouvez maintenant résoudre le problème pour trouver la valeur de qui est constante à l'état d'équilibre selon vos équations. Vous pouvez obtenir une équation transcendantale de qui nécessite une solution numérique ou graphique. $N_{B,r}$ $N_{B,r}$

Une mise en garde, tout cela est basé sur un modèle de film de transport de masse et de réaction hétérogène. Cela signifie que vous aurez besoin de données expérimentales pour corréler la vitesse de réaction à l'épaisseur du modèle de film, . $\delta$

— Salomon Turgman
source

-1

Si nous pouvons supposer que la sphère a un rayon et que est l'épaisseur de la couche limite entourant la sphère, alors les conditions aux limites que j'utiliserais sont $r_0$ $\delta$

y_{B} (r = r_{0} + δ) = y_{B, b u l k}

$y_B(r= r_0 + \delta)=y_{B,bulk}$

\frac{\partial y_{B}}{\partial r} |_{r = 0} = 0

$\frac{\partial y_B}{\partial r} \bigg|_{r=0}=0$

La première (condition aux limites de Dirichlet) est ce que vous avez déjà. La seconde (condition aux limites de Neumann) est due à la symétrie de la particule sphérique.

$y_B$

— Carlton
source

En ce moment, je n'ai pas nécessairement besoin de valeurs pour y_B dans la sphère elle-même. Seule la concentration en surface est nécessaire et je peux utiliser n'importe quel moyen pour l'obtenir, c'est pourquoi j'ai pensé à utiliser l'approche de la couche limite - à la fin, vous avez des conditions en vrac et au début, vous avez des conditions de surface.

— Mierzen

Je pense que votre deuxième condition aux limites se trompe ici car le domaine de diffusion externe n'inclut pas l'emplacement r = 0.

— Salomon Turgman