Comment gérer une force ponctuelle agissant directement sur l'articulation d'une poutre?

J'ai essayé de résoudre une question où il y a une force ponctuelle agissant sur la charnière d'une poutre. Voici le problème:

Je ne sais pas comment gérer la force ponctuelle de 2 kN en ( et sont les charnières). Si je divise la poutre en trois parties, , et , je ne sais pas où cette force de 2 kN devrait aller. Si je l'inclus dans les deux équations d'équilibre de et , alors la somme de sera déséquilibrée. Je crois que ce problème est statistiquement déterminé, mais je suis juste bloqué à ce stade. Je ne veux pas encore attacher mes travaux ici car je voudrais vraiment m'y attaquer moi-même avec un peu de clarification et d'aide.C E ¯ A C ¯ C E ¯ E G ¯ A C ¯ C E F $C$$C$$E$$\overline{AC}$$\overline{CE}$$\overline{EG}$$\overline{AC}$$\overline{CE}$$F_y$

Alors que ce faisceau présente cinq contraintes ( , , , , ), il est en fait statiquement déterminé. Une structure statiquement indéterminée est celle où il y a plus d'inconnues (contraintes, dans ce cas) qu'il n'y a d'équations d'équilibre statiques. Habituellement, on a trois équations: , , (où Est un point quelconque). Les charnières, cependant, nous donnent une équation supplémentaire chacune: , où$X_A$$Y_A$$M_A$$Y_F$$Y_G$$\sum F_X = 0$$\sum F_Y = 0$$\sum M_? = 0$$?$$\sum M_{h\pm} = 0$$h\hspace{-2pt}\pm$C Eest un côté de la charnière (gauche ou droite), comme dans cette question. Ceci est différent de l'équation globale du moment de flexion nul qui considère toutes les forces de chaque côté de la charnière. En ajoutant les deux équations supplémentaires données par les charnières en et aux trois équations d'équilibre global, nous avons donc autant d'équations que de contraintes (5), et pouvons donc résoudre ce problème par les moyens traditionnels.$C$$E$

Cela étant dit, il existe un moyen beaucoup plus facile de le faire, qui est entièrement pratique, sans aide informatique .

Pour cette approche pratique, il faut observer la double charnière dans la portée . Cela signifie que le moment de flexion en et doit être nul, tout comme avec une poutre simplement supportée (une explication plus approfondie de la raison pour laquelle cette comparaison est valide peut être vue à la fin).$\overline{CE}$$C$$E$

Remplaçons donc cette poutre par les pièces suivantes (notez que les charges en et sont laissées vides pour l'instant):$C$$E$

La résolution du faisceau représentant est triviale. Pour l'instant, nous n'avons besoin que des réactions, qui sont égales à à chaque support.$\overline{CE}$$3\text{kN}$

Maintenant, obtenez ces réactions et jetez-les dans les autres pièces, en vous rappelant qu'en il y a aussi la force concentrée , qui doit être ajoutée. Nous avons donc:$C$$2\text{kN}$

Les autres pièces sont également isostatiques et peuvent être résolues trivialement (en supposant que l'on sait comment obtenir les forces internes des structures isostatiques). Les forces internes résultantes sont (j'ai changé le support en juste pour rendre cette pièce stable pour les forces horizontales, ce qui ne change rien dans ce cas):$G$

En composant ces diagrammes, ils sont identiques à ceux obtenus par le faisceau d'origine:

Une raison simple pour laquelle la comparaison peut être faite entre ces doubles charnières et une poutre simplement supportée est parce que c'est le principe de base derrière les poutres Gerber (qui est essentiellement ce que représente ). Ce sont des poutres qui reposent sur d'autres poutres (voir l'exemple ici$\overline{CE}$, où les poutres de droite et de gauche sont des poutres de Gerber) et qui peuvent donc être "soulevées" du reste de la structure, résolues, puis réparties leurs réactions sur le reste de la structure. On n'a pas à se soucier de l'influence des forces externes ou des poutres voisines transmettant les forces de cisaillement car le moment de flexion doit être nul à chaque extrémité de la poutre Gerber. Cela signifie que l'intégrale du cisaillement le long de la poutre Gerber doit être nulle, ce qui ne peut se produire que si seules les charges à l'intérieur de la poutre et les réactions à ses extrémités sont prises en compte.

Le programme que j'ai utilisé pour ces diagrammes était Ftool , un outil gratuit d'analyse d'images 2D.

Je suppose que vous savez comment trouver les réactions mais vous n'êtes pas sûr des deux charnières en C et E car cela semble être votre principale préoccupation. Si vous ne savez pas comment calculer les réactions, je peux ajouter cela plus tard. J'ai utilisé SkyCiv Beam pour trouver les réactions:

Comme vous pouvez le voir, ces réactions s'équilibrent très bien:

$$\sum F_y = 11 + 10 + 5 - (6+2+6+2\times6) = 26 - 26 = 0\text{ kN} \\ \sum M_A = -32 +6(2)+2(4)+6(5)+12(11)- 10(8) -5(14)= 0\text{ kN.m}$$

Maintenant, peu importe si vous choisissez d'inclure la charge ponctuelle de 2 kN à la charnière C sur le membre AC ou CE. Il suffit de l'inclure dans le diagramme de corps libre (FBD) pour un membre ou l'autre (PAS les deux!).

Faisons en sorte que la charge ponctuelle de 2 kN en C agisse à l'extrémité droite du membre AC, et non à l'extrémité gauche du membre CE. Rappelant qu'un moment ne peut PAS être supporté au niveau de la charnière C:

$$\sum F_y = 0\\ 11 - 6 - 2 + H_C = 0\\ \therefore H_C = 3\text{ kN}$$

Considérons maintenant le membre CE (encore une fois pas en C ou E). La force Hc doit être dans la direction opposée à celle trouvée dans le FBD pour le membre AC:

$$\sum F_y = 0\\ H_C + H_E -6 = 0\\ 3 + H_E - 6 = 0\\ \therefore H_E = 3\text{ kN}$$

Enfin, considérez le membre EG pour confirmer que tout est bien équilibré (encore une fois, la force en E doit être opposée à celle du FBD pour le membre CE):

$$\sum F_y = -H_E + 10 + 5 - 12 = -3 + 10 + 5 - 12 = 0 \text{ }\checkmark$$

Regardons le diagramme de force de cisaillement (SFD) ci-dessous et comprenons pourquoi peu importe le membre sur lequel la charge ponctuelle de 2 kN agit. Nous avons résolu plus tôt qu'au point C la force de cisaillement était Hc = 3 kN. Comme vous pouvez le voir dans le SFD, il y a DEUX valeurs au point C (x = 4m): 5 kN et 3 kN. Évidemment, la différence entre ces valeurs est la charge ponctuelle de 2 kN. Si nous avions ajouté la charge ponctuelle dans notre diagramme pour le membre CE au lieu du membre AC, nous aurions résolu la force de cisaillement au point C comme étant Hc = 5 kN. Vous pouvez donc l'inclure dans l'un ou l'autre membre et ce sera correct - il suffit de ne pas l'inclure dans les deux membres.

SkyCiv Beam est assez pratique pour des analyses comme celle-ci et c'est un bon moyen de vérifier votre logique, vos réponses et votre entraînement . Il résoudra également le diagramme du moment de flexion (BMD) si vous en avez besoin plus la flèche, la contrainte entre autres.