Quelle amplitude est utilisée pour une excitation d'analyse modale par éléments finis?

Dans un logiciel d'analyse typique par éléments finis, une analyse modale donne les N premiers modes naturels et permet d'obtenir la contrainte équivalente et les déformations totales pour chacune de ces fréquences.

Mais quelle amplitude le solveur a-t-il utilisé pour obtenir ces résultats?

Pourquoi ne pouvons-nous pas obtenir un gain à la place, pour les déplacements et les contraintes et pour chaque fréquence?

Les amplitudes des modes d'une analyse de vibration sont arbitraires. Ils sont souvent "normalisés en masse", ce qui est mathématiquement pratique pour les utiliser dans une étape ultérieure de l'analyse. Il peut exister une option permettant d’adapter l’incrément d’autres manières, par exemple, "normalisation de l’ingénieur" lorsque la plus grande déviation est définie sur 1.0 ou l’option permettant de redimensionner un degré de liberté spécifié ou une composante de contrainte en fonction de l’amplitude choisie.

Vous pouvez connaître l'amplitude de la vibration en testant la structure ou en la surveillant lorsqu'elle est utilisée avec des jauges de contrainte ou des accéléromètres. Si tel est le cas, vous pouvez adapter les résultats de l'analyse à ce que vous savez.

Si vous souhaitez calculer les amplitudes et les contraintes réelles pour un ensemble de charges donné, vous devez effectuer une analyse de la réponse en régime permanent et / ou une analyse de la réponse transitoire, selon le cas, en fonction des conditions de charge et de fonctionnement.

La réponse courte est qu'il n'y a pas d'amplitude utilisée. Encore plus important, le fait que les déplacements et les contraintes indiqués dans les résultats d'une analyse modale ne peuvent être utilisés pour dire quoi que ce soit sur le comportement physique de la pièce en termes absolus.

L'équation de base du mouvement est

$$ [M] [\ ddot {U}] + [B] [\ dot {U}] + [K] [U] = F (t) $$

$ M $, $ B $ et $ K $ sont des matrices pour la masse, l'amortissement et la raideur, respectivement, et $ U $ est le déplacement. Les propriétés du matériau sont connues et nous résolvons le déplacement. Ceux-ci sont spécifiés pour les nœuds individuels créés lors du maillage d'un modèle FEA. Pour une analyse modale, nous ignorons les effets d'amortissement et supposons qu'aucune charge n'est présente. Cela pose essentiellement la question "Si nous contraignons la pièce d’une certaine manière mais ne lui appliquons aucune charge, quelles sont les manières possibles de la faire vibrer?"

Regardez l'équation du mouvement lorsque nous négligeons l'amortissement et n'appliquons aucune charge (F = 0)

$$ [M] [\ ddot {U}] + [K] [U] = 0 $$

Nous essayons de résoudre cette équation pour des valeurs non nuls de $ U $; c'est-à-dire des points auxquels les forces d'inertie et les forces de ressort du matériau sont égales. Dans ce cas idéalisé d'absence d'amortissement, la pièce pourrait théoriquement vibrer à travers ces points pour toujours après l'application d'un déplacement / d'une force initiale.

En résolvant l’équation idéalisée ci-dessus, nous laissons aussi

$$ [\ ddot {U}] = \ lambda [U] $$

où $ \ lambda $ est une valeur propre. Ceci est une conséquence du mouvement harmonique, ce qui est logique quand on y réfléchit un peu. Si une pièce oscille entre deux positions et que les points de la pièce suivent des chemins linéaires entre leurs deux positions, le vecteur d'accélération sera toujours un multiple linéaire du vecteur de déplacement.

Dans la forme finale de l'équation, nous voyons que nous n'avons que 4 termes distincts:

$$ \ lambda [M] [U] + [K] [U] = 0 $$

Puisque $ M $ et $ K $ sont connus, nous cherchons simplement une matrice de déplacement pour laquelle il existe une constante $ \ lambda $. Mais étant donné la nature de cette équation, il est facile de voir que pour une matrice $ [V] = A [U] $ où $ A $ est une constante arbitraire, $ \ lambda_U = \ lambda_V $.

Enfin, il est utile de noter que les unités de $ \ lambda $ sont $ s ^ {- 2} $, ce qui signifie que $ \ lambda = \ phi ^ 2 $ avec $ \ phi $ étant la fréquence de résonance du mode de vibration en question. .

Donc, comme je l'ai dit plus haut, aucune amplitude n'est utilisée pour les calculs principaux réels dans une analyse modale. Pour afficher les résultats et donner les valeurs de "déplacement" dans les résultats, une certaine amplitude standard ou normalisation est effectuée, mais ces chiffres ne correspondent pas à ce que vous recherchez dans une analyse modale et ne doivent pas être utilisés sous forme absolue ; comment tu pouvez utilisez-les pour déterminer la proportionnalité des déplacements entre les nœuds. Si vous voyez que le point A a un déplacement de 2 mm alors que le point B a un déplacement de 1 mm, vous savez qu'un rapport de 2: 1 existera toujours pour ce mode de vibration.

Pour déterminer le niveau de vibration d’une pièce, vous devez effectuer une analyse vibratoire complète en définissant vous-même les charges et leurs fréquences, en utilisant les connaissances acquises grâce à l'analyse modale.

Deux bonnes références:

• Article de Wikipedia sur Analyse modale à l'aide de FEM
• Une analyse vibratoire et modale adaptée à la conception