dérivation de la formule expérimentale du module de Young

Dans une expérience utilisée pour trouver le module de Young d'une barre d'acier, la formule du changement de hauteur est donnée comme suit:

δ_{x} = \frac{F x^{2}}{6 E I} (3 L - x)

$\delta_x=\frac{Fx^2}{6EI}(3L-x)$

I = \frac{b h^{3}}{12}

$I=\frac{bh^3}{12}$ où: - le changement de hauteur de la barre d'acier sous charge à une distance L

δ

$δ$

$δ_x$ - le changement de hauteur de la barre d'acier sous charge au point où la flèche est mesurée

$L$ - la distance entre le point d'application de la charge et le support d'extrémité

$x$ - la distance entre le point où la déviation est mesurée et le support d'extrémité

$E$ - module de Young

$F$ - charge appliquée

$I$ - deuxième moment d'aire de la section

$b$ - la largeur du faisceau

$h$ - la hauteur de la poutre

$w$ - le poids de chaque valeur dans la moyenne pondérée

$m$ - la masse suspendue au bar

Le problème est décrit ci-dessous:

Le problème est que je ne comprends pas comment ils ont dérivé cette formule. Merci d'avance.

materials

— Henry Lee
source

Recherchez la dérivation de la théorie de faisceau d'Euler-Bernoulli. La déflexion est la solution à une équation différentielle du quatrième ordre en ce qui concerne la répartition de la charge. J'espère que cela vous permet de commencer!

— wwarriner

@starrise a raison, mais vous pouvez résoudre ce cas un peu plus facilement. Dessinez un diagramme des moments pour le faisceau, utilisez la formule qui relie le moment à la courbure et intégrez-la deux fois pour obtenir les déplacements.

— alephzero

J'essaie d'aborder le problème de deux manières différentes, comme suggéré dans les commentaires.

La première approche est basée sur la théorie des faisceaux de Bernoulli, un ensemble d’équations différentielles (si vous voulez savoir comment les piloter, vous pouvez le demander ici ou en physique SE):

q (x) = - \frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} M}{d x^{2}} = - E I_{y y} \frac{d^{3} α}{d x^{3}} = E I_{y y} \frac{d^{4} u}{d x^{4}}

$q(x)=-\frac{dv}{dx}=\frac{d^2M}{dx^2}=-EI_{yy}\frac{d^3\alpha}{dx^3}=EI_{yy}\frac{d^4u}{dx^4}$

Je respecte le système de coordonnées à droite , l' axe des se trouvant le long de la poutre, , , , et représentent respectivement la force verticale, la force de cisaillement, le moment, la courbure et le déplacement. $x$ $q$ $v$ $M$ $\alpha$ $u$

Je suppose que vous savez comment conduire le moment, si vous ne le faites pas, alors jetez un oeil à la deuxième méthode:

M = F (L - x)

$M=F(L-x)$

L'intégration de l'équation à deux reprises entraîne:

E I_{y y} u (x) = - F (L \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6}) - C_{1} x + C_{2}

$EI_{yy}u(x)=-F(L\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})-C_1x+C_2$ .

Les conditions aux limites dans ce cas sont:

E I_{y y} α (x = 0) = 0 \to C_{1} = 0

$EI_{yy}\alpha(x=0)=0 \rightarrow C_1=0$

E I_{y y} u (x = 0) = 0 \to C_{2} = 0

$EI_{yy}u(x=0)=0 \rightarrow C_2=0$

Alors:

E I_{y y} u (x) = - F (L \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6})

$EI_{yy}u(x)=-F(L\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})$ .

La deuxième façon est un peu plus longue, mais elle vous aide à développer votre vision:

Image: Mécanique des matériaux Prof. Wim VAN PAEPEGEM

Nous trouvons d’abord les forces de réaction:

R_{A} + F = 0 \to R_{A} = F

$R_A+F=0 \rightarrow R_A=F$

R M_{A} = - F . L

$RM_A=-F.L$

Maintenant, nous souhaitons trouver les forces de cisaillement et le moment, vous pouvez choisir entre le côté droit de la poutre ou le côté gauche, comme vous pouvez le voir sur la photo, il est plus facile d'écrire les équations d'équilibre pour la main droite. côté (BC).

- V + F = 0 \to V = - F

$-V+F=0 \rightarrow V=-F$

M + F (L - x) = 0 \to M = F (L - x)

$M+F(L-x)=0 \rightarrow M=F(L-x)$

vous pouvez maintenant intégrer le moment comme je le faisais auparavant.

— Sam Farjamirad
source

Merci beaucoup, ceci est une réponse très détaillée et approfondie qui résout ma question bien!

— Henry Lee