Comment calculer la variation de l'énergie calorifique lorsque la chaleur spécifique varie avec la température?

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De nombreux matériaux ont une chaleur spécifique qui varie avec la température, d'autant plus que le changement de température devient important. Comment calcule-t-on l'énergie thermique qu'un objet reçoit dans ce cas? Peut-on simplement utiliser la capacité thermique spécifique à la température de début ou à la température de fin?

— Max Ning
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Dans la même veine que ma réponse sur le calcul de la force du levier dans une situation continue ; vous devez utiliser l'intégration.

Vous commencez par prendre la loi de chaleur standard que vous connaissez et remplacer les s par des différentiels: Cette nouvelle équation se lit comme suit: Pour un changement infinitésimal (très minuscule) de température, j'obtiens un changement infinitésimal (très minuscule) de la chaleur. Dans la limite des infinitésimaux, tout est linéaire, donc cette simple équation linéaire tient toujours. Maintenant, vous résumez simplement tous les changements infinitésimaux du flux de chaleur en utilisant l'intégration Si vous ne voulez pas vraiment faire l'intégration, ça va. Matlab n'aura aucun problème à le faire pour vous, et l'approche Matlab fonctionne même si vous n'avez pas de fonction analytique pour décrire

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (c'est-à-dire que vous ne disposez que de données). Si vous n'avez pas accès à Matlab, utilisez Python . C'est gratuit, open source et incroyablement puissant.

— Chris Mueller
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Ne vous méprenez pas, je suis un grand fan de Python, mais GNU Octave semble être mieux adapté au rôle d'alternative gratuite à MATLAB. D'une part, il est compatible avec les fichiers .mat.

— Air

@Air C'est peut-être vrai; Je n'ai jamais vraiment utilisé Octave. Le passage à Python depuis Matlab n'est pas difficile cependant, et c'est, je crois, un langage plus développé qu'Octave. Je sais également que les routines d'intégration numérique de Python (qui font partie de SciPy) sont robustes car je les ai utilisées plusieurs fois.

— Chris Mueller

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Ni. Dans ce genre de situation, il n'y a pas de solution linéaire "simple"; vous devez utiliser le calcul intégral pour additionner la chaleur incrémentielle absorbée à chaque température en cours de route. Le seul moment où ce calcul devient une simple multiplication est lorsque la quantité à intégrer (la chaleur spécifique) est une constante sur toute la plage de l'intégration.

— Dave Tweed
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Ni.

Comme cela a déjà été souligné, ce n'est pas trivial à faire, mais voici une méthode suggérée:

mesurer avec précision une certaine quantité de carburant, puis brûler ce carburant et utiliser un matériau ayant une capacité thermique spécifique très constante ou bien connue pour déterminer la quantité d'énergie que votre éprouvette reçoit au fil du temps en enregistrant sa température.
utiliser la même quantité de carburant, dans le même appareil, avec une éprouvette de propriétés géométriques identiques mais un matériau différent et répéter l'expérience. Cette fois, vous supposez l'énergie que votre éprouvette reçoit sur la base de l'étape 1 et utilisez la température enregistrée pour déterminer la capacité thermique spécifique du matériau.
Maintenant que vous avez la courbe de capacité thermique spécifique pour ce matériau, utilisez-la comme tout autre matériau, mais intégrez votre courbe sur la plage de température que vous mesurez pour déterminer la quantité d'énergie thermique absorbée.

Cette méthode n'est pas parfaite, elle repose sur une superposition linéaire qui n'est pas parfaitement valable pour la température car certains facteurs d'échange de chaleur ont une dépendance non linéaire, mais ce n'est pas une mauvaise méthode pour "calibrer" votre matériau à un niveau de base.

— thepowerofnone
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J'essaierais d'adapter le matériau à un modèle.
Le modèle Debye est le "standard". (désolé, l'article wiki est un peu exagéré.) Dans le modèle Debye, le matériau peut être ajusté avec une "température Debye".

Modifier sur demande. (cependant, je ferais confiance à l'article wiki par rapport à ma réponse.) À des températures élevées (mais pas trop élevées), les matériaux ont une capacité thermique égale à 3kT * N, où N est le nombre d'atomes. (Ce ne sont que les atomes et non les électrons qui comptent pour la capacité calorifique, ce qui est intéressant ...) À mesure que la température baisse, les atomes cessent de trembler et certains des modes de vibration "gèlent". Les modes sont à une énergie si élevée qu'il n'y a pas assez d'énergie thermique pour les exciter. La température Debye est une mesure approximative de l'endroit où les modes gèlent et la capacité thermique commence à diminuer.

— George Herold
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Pourriez-vous ajouter un peu plus d'informations plutôt qu'un simple lien?

— hazzey

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Si vous avez une équation , le problème est simple (tant que l'intégration ne pose aucun problème) puisque comme Chris Mueller a répondu. $Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

Admettons que vous ne connaissiez que et . Donc, interpolez linéairement pour obtenir et, en intégrant, vous obtiendrez alors qui montre que vous avez juste besoin d'utiliser la valeur moyenne des connus . $Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

— Claude Leibovici
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c'est exactement le cas lorsque la fonction est linéaire; dans tous les autres cas , il est une approximation, bonne ou mauvaise approximation selon et sur la façon et beaucoup changement fonction avec

c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

— mattia.b89

@ mattia.b89. Vous avez tout à fait raison, mais d'un point de vue pratique, sur une plage de température limitée, est presque constant et une approximation linéaire est assez bonne. Lorsque ce n'est pas le cas, bien sûr, nous avons besoin de plus d'informations (ajuster les données expérimentales et intégrer).

C p

$Cp$

— Claude Leibovici