Deuxième moment d'aire pour le triangle incliné?

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Considérons ce triangle avec son centroïde en : $C$

Alors voici comment je pense que nous pouvons calculer le deuxième moment d'aire le long des axes et : $x_{C}$ $y_{C}$

\begin{aligned} I_{x c} & = \frac{b h^{3}}{36} \\ I_{y c} & = \frac{h b (b^{2} - s t)}{36} \end{aligned}

$\begin{align} I_{xc} &= \frac{bh^3}{36} \\ I_{yc} &= \frac{hb(b^2-st)}{36} \end{align}$

Jusqu'ici tout va bien.

Mais alors nous avons ce triangle:

Des questions

Existe-t-il une méthode similaire pour calculer le deuxième moment d’aire d’un triangle incliné, comme celui ci-dessus?
Est-ce que même les mêmes équations fonctionneront?
Comment est-ce que et dérivés dans ce cas? Peuvent-ils être négatifs? $s$ $t$

Veuillez supposer que nous ne pouvons PAS rebaser le triangle - nous devons utiliser comme base. $LR$

Source pour les équations

statics moments

— 0scar
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Oscar, je ne sais pas quelle est votre formation en maths, mais il y a beaucoup de façons différentes d'y arriver. Le plus direct consiste à raisonner à partir des propriétés des transformations affines, en particulier de la cartographie du cisaillement .

Lors d'un cisaillement horizontal, comme dans le triangle 1 au triangle 2, les distances parcourues par différents points sont proportionnelles à leur coordonnée y. Cela nous indique, en effet, que si votre équation Iyc est une solution générale pour les triangles aigus, elle doit également l'être pour les triangles obtus, car ils sont générés à partir de la même transformation. La seule différence est la magnitude de la transformation. Vous devez donc être cohérent avec la façon dont vous mesurez s et t . s commence à L et va à T, et t commence à T et va à R, mesurant horizontalement. Ceci est facile à vérifier en comparant deux triangles qui sont presque des angles droits (valeur t minuscule), un de chaque type.

— Phil Sweet
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Je dirais que mon expérience en maths est optimiste, donc je ne peux pas dire que je comprends pourquoi l'équation doit fonctionner - mais j'achète cette explication et ce raisonnement:) Merci!

— 0scar

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$I_{xc}$ $I_{yc}$ $t$ $b$ $s$

Une longue réponse basée sur les mathématiques. Je vais appeler le sommet du sommet 0. Dans les deux cas, le triangle final TLR est obtenu à partir des triangles TOL et TOR .

La surface, le centroïde et le deuxième moment des zones autour du centroïde pour chaque triangle:

\begin{array}{cc} une r e une & c e n t r o je ré & m o m e n t \\ T O L & \frac{h s}{2} & {\frac{2 s}{3}, \frac{h}{3}} & {\frac{h^{3} s}{36}, \frac{h s^{3}}{36}} \\ T O R & \frac{h t}{2} & {\frac{2 s + b}{3}, \frac{h}{3}} & {\frac{h^{3} t}{36}, \frac{h t^{3}}{36}} \end{array}

$\begin{array}{cc} & area & centroid & moment \\ TOL & \frac{h s}{2} &\left\{\frac{2 s}{3},\frac{h}{3}\right\} & \left\{\frac{h^3 s}{36},\frac{h s^3}{36}\right\} \\ TOR & \frac{h t}{2} & \left\{\frac{2 s+b}{3},\frac{h}{3}\right\} & \left\{\frac{h^3 t}{36},\frac{h t^3}{36}\right\} \\ \end{array}$

$\left\{\frac{b+s}{3},\frac{h}{3}\right\}$ $I=I_c+Ad^2$

Les nouveaux moments de TOL sont

{\frac{h^{3} s}{36}, \frac{h s^{3}}{36}} + \frac{1}{2} h s {{(\frac{h}{3} - \frac{h}{3})}^{2}, {(\frac{b + s}{3} - \frac{2 s}{3})}^{2}}

$\left\{\frac{h^3 s}{36},\frac{h s^3}{36}\right\}+\frac{1}{2} h s \left\{\left(\frac{h}{3}-\frac{h}{3}\right)^2,\left(\frac{b+s}{3}-\frac{2 s}{3}\right)^2\right\}$

{{je}_{X T O L}, {je}_{Y T O L}} = {\frac{h^{3} s}{36}, \frac{1}{36} h s (2 b^{2} - 4 b s + 3 s^{2})}

$\left\{I_{XTOL}, I_{YTOL}\right\} = \left\{\frac{h^3 s}{36},\frac{1}{36} h s \left(2 b^2-4 b s+3 s^2\right)\right\}$

De même, les nouveaux moments de TOR sont

{\frac{h^{3} t}{36}, \frac{h t^{3}}{36}} + \frac{1}{2} h t {{(\frac{h}{3} - \frac{h}{3})}^{2}, {(\frac{1}{3} (b + 2 s) - \frac{b + s}{3})}^{2}}

$\left\{\frac{h^3 t}{36},\frac{h t^3}{36}\right\}+\frac{1}{2} h t \left\{\left(\frac{h}{3}-\frac{h}{3}\right)^2,\left(\frac{1}{3} (b+2 s)-\frac{b+s}{3}\right)^2\right\}$

et cela simplifie

{{je}_{X T O R}, {je}_{Y T O R}} = {\frac{h^{3} t}{36}, \frac{1}{36} h t (2 s^{2} + t^{2})}

$\left\{I_{XTOR}, I_{YTOR}\right\} = \left\{\frac{h^3 t}{36},\frac{1}{36} h t \left(2 s^2+t^2\right)\right\}$

$I_{xc}$

$t+s=b$

{je}_{X c} = {je}_{X T O L} + {je}_{X T O R} = \frac{h^{3} s}{36} + \frac{h^{3} t}{36} = \frac{h^{3} b}{36}

$I_{xc} = I_{XTOL}+I_{XTOR}= \frac{h^3 s}{36}+\frac{h^3 t}{36}= \frac{h^3 b}{36}$

$s-t=b$

{je}_{X c} = {je}_{X T O L} - {je}_{X T O R} = \frac{h^{3} s}{36} - \frac{h^{3} t}{36} = \frac{h^{3} b}{36}

$I_{xc} = I_{XTOL}-I_{XTOR}= \frac{h^3 s}{36}-\frac{h^3 t}{36}= \frac{h^3 b}{36}$

$I_{yc}$

$t=b-s$

{je}_{y c} = {je}_{Y T O L} + {je}_{Y T O R} = \frac{1}{36} b h (b^{2} - b s + s^{2})

$I_{yc} = I_{YTOL}+I_{YTOR}= \frac{1}{36} b h \left(b^2-b s+s^2\right)$

$t=s-b$

{je}_{y c} = {je}_{Y T O L} - {je}_{Y T O R} = \frac{1}{36} b h (b^{2} - b s + s^{2})

$I_{yc} = I_{YTOL}-I_{YTOR}= \frac{1}{36} b h \left(b^2-b s+s^2\right)$

Conclusion

$I_{xc}$ $\frac{h^3 b}{36}$

$I_{yc}$ $\frac{1}{36} b h \left(b^2-b s+s^2\right)$

$\frac{1}{36} b h \left(b^2+st\right)$ $t$ $t$

Calculs

J'ai utilisé Mathematica pour les calculs plutôt fastidieux.

— Suba Thomas
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Le triangle incliné peut être obtenu en coupant une partie du triangle rectangle, et vous pouvez calculer le moment d'inertie ou le deuxième moment d'aire en soustrayant le plus petit triangle rectangle du plus grand triangle à l'aide de la règle de Steiner. Vous pouvez exprimer toutes les dimensions en tenant compte de votre base et de vos arêtes à l’aide de fonctions trigonométriques.

— Katarina
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