Principe du travail virtuel vs (deuxième) théorème de Castigliano

J'ai jeté un coup d'œil en ligne et dans la littérature, mais je n'ai pas semblé trouver une bonne comparaison pour les deux méthodes différentes. Ils sont tous deux utilisés pour déterminer les déplacements et les pentes (rotation par thêta) en un point d'un continuum. La première utilise une force unitaire virtuelle qui est égale à l'énergie de déformation dans l'élément (lorsqu'elle est multipliée par le déplacement d'intérêt) et la seconde utilise une différence par rapport à une force virtuelle qui tend vers zéro.

Lequel est le plus efficace et le plus précis? Pourquoi choisir le travail virtuel plutôt que celui de Castigliano ou vice versa?

Réponse courte: Castigliano donne des solutions exactes rapides à quelques points clés dans une grande structure complexe, tandis que le travail virtuel donne des modèles approximatifs utilisables à des systèmes complexes qui autrement seraient insolubles.

Le théorème de Castigliano et l'œuvre virtuelle sont les deux faces d'une même médaille mathématique. Les méthodes de Castigliano sont antérieures au travail virtuel, mais commencent les principes fondamentaux du travail virtuel. Il constitue la moitié la plus simple du travail virtuel, où les déplacements pourraient être résolus via une analyse linéaire, mais nous utilisons le travail virtuel pour obtenir la réponse plus rapidement. Le travail virtuel est décrit pour la seconde moitié, où nous ne pouvions pas résoudre les déplacements avec une analyse linéaire (sans résoudre les équations différentielles et jeter un tas de coefficients), et nous nous appuyons plutôt sur le travail virtuel pour trouver une bonne réponse approximative qui convient à de nombreux les conditions aux limites.

Comme indiqué ci-dessus, dans la plupart des applications de ce que les ingénieurs utilisent pour la méthode de Castigliano, le principe principal consiste à utiliser ce qui est connu de la poutre élastique linéaire ou de la théorie des poutres (il peut être utilisé sous plusieurs aspects pour ces structures), et à résoudre rapidement pour une structure soumis à des forces très inhabituelles. Une équation pour les forces est écrite en termes de nombreuses forces inconnues de la structure statiquement déterminée, puis les forces inconnues sont supprimées. L'une des forces inconnues (ou inhabituelles, mais connues) est appliquée, et les modèles et tableaux linéairesutilisé pour des forces uniques peut rapidement nous dire le déplacement réel à différents points de la structure. La force unique peut entraîner 500 newtons de force à un point de réaction par newton de force d'origine, ou 5 newtons. Ceci est enregistré. La force inconnue est supprimée et une nouvelle force est ajoutée et testée. Une fois que toutes ces réactions et forces ont été trouvées, la méthode de Castigliano peut alors déterminer quelle serait la déflexion finale pour l'ensemble de l'état de charge, qui ne peut pas être trouvée dans un tableau des états de charge résolus. Cela est particulièrement utile dans le cas où il existe des supports élastiques, des supports qui dévient en fonction de la force qu'ils appliquent, ce qui se produit dans tout système réel. La seule limite à cette approche est la précision des tableaux et le principe de superposition. Tant que le système peut être traité par superposition,

Le principe du travail virtuel va au-delà de ce principe - l'idée est plutôt d'écrire simplement une équation pour les déplacements à coefficients inconnus. Cela pourrait être la solution au DE qui gouverne, ou cela pourrait être complètement inexact, mais il doit être capable de résoudre toutes les conditions aux limites (au point A, le déplacement est 0, etc.). Pour les poutres, la prise de la deuxième dérivée de l'équation de déplacement donne l'équation de moment et la troisième de l'équation de cisaillement. Pour les plaques et autres continuums, le déplacement est la déformation multipliée par la longueur. Tout terme de contrainte peut être écrit comme le tenseur de rigiditéfois la contrainte, de sorte que l'ensemble du travail virtuel peut être exprimé simplement en termes de notre équation de déplacement inconnue, en principe. Par conséquent, le travail consiste simplement à résoudre ces coefficients inconnus de sorte qu'ils minimisent le travail virtuel (à la fois en énergie potentielle pour les systèmes statiques ou en somme d'énergie potentielle et d'énergie cinétique pour les systèmes dynamiques).

Un exemple de ceci est fréquemment donné avec les équations utilisées pour l'analyse par éléments finis, où au lieu des équations de déplacement normalement quartique, une équation cubique est utilisée pour le déplacement. C'est parce que nous avons au plus deux degrés de liberté pour les rotations et deux degrés de liberté pour les déplacements, donc nous ne pouvons avoir que quatre coefficients inconnus - une équation cubique. Notez que cela signifie qu'un FEA doit ensuite diviser une charge répartie en charges ponctuelles qui permettent à l'équation cubique d'avoir les mêmes flèches que la quartique d'origine. C'est ce qui fait que les éléments individuels ne montrent pas les mêmes déflexions à mi-portée que la quartique d'origine:

Même sans superposition, le principe du travail virtuel s'applique toujours, tant que votre tenseur de rigidité tient compte de la variation de contrainte par rapport à la déformation. Cela peut prendre une équation de contrainte inconnue indépendante , à utiliser à la place du tenseur de rigidité. Des variantes de ce type sont utilisées dans de nombreux domaines par les ingénieurs qui ont besoin de faire des modèles mathématiques de leurs systèmes, qui constituent la base de pratiquement toutes les méthodes d'éléments finis. En résumé, Castigliano donne des solutions exactes rapides à quelques points clés dans une grande structure complexe, tandis que le travail virtuel donne des modèles approximatifs utilisables à des systèmes complexes qui autrement seraient insolubles.