Quelle est l'interprétation physique des valeurs propres de la matrice de rigidité dans la méthode des éléments finis?

Étant donné l'équation de mouvement d'un système non amorti $ \ mathbf {M} \ mathbf {\ ddot {q}} + \ mathbf {K} \ mathbf {q} = \ mathbf {f} $, $ \ mathbf {M} $ indique la matrice de masse, $ \ mathbf {K} $ la matrice de rigidité, $ \ mathbf {q} $ le déplacement dépendant du temps et $ \ mathbf {f} $ la force appliquée. Les racines, $ \ omega ^ 2 $, de l'équation $ det (\ mathbf {K} - \ omega ^ 2 \ mathbf {M}) = 0 $ indiquent les fréquences de vibration.

Ma question est la suivante: quelle est l'interprétation physique de la valeurs propres de la matrice de raideur $ \ mathbf {K} $?

structural-engineering finite-element-method

— H. Vabri
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Réponses:

Supposons une version 1d de l'équation. Alors la matrice K devient un k , constante de printemps.

En 1-D L'équation se réduit à: $ m \ ddot {q} + kq = f $

La matrice q devient également un vecteur x dans une dimension. C'est l'équation différentielle pour un système masse-ressort forcé. (@Jmac a ajouté l'équation à un jour)

De même, la signification physique des valeurs propres de la matrice est la rigidité du système dans la direction du vecteur propre correspondante. Et en tant que tel, cela détermine la quantité de position / mouvement élastique provoquée par la force dans le système.

Les valeurs propres / vecteurs les plus intéressants de K sont les valeurs propres nulles. Celles-ci correspondent aux mouvements de corps rigides de la structure. Ces vecteurs propres peuvent constituer une vérification utile pour les structures contenant des articulations mobiles, etc., où le nombre de mouvements de corps rigides ne devrait pas être égal à 6. Ils peuvent également présenter des problèmes avec le modèle FE, par exemple les modes de "sablage" causés par un choix inapproprié des éléments. (Merci à @alephzero pour ce paragraphe)

— Gürkan Çetin
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Très bonne réponse. Je veux juste développer un peu pour dire que toute l’équation réduite à 1-D vous donne $ m \ ddot {q} + kq = F $, l’équation différentielle pour un système masse-ressort forcé.

— JMac

Les valeurs propres / vecteurs les plus intéressantes de K sont les valeurs propres nulles, qui correspondent aux mouvements de corps rigides de la structure. Cela peut être une vérification utile pour les structures qui contiennent des joints mobiles, etc., où le nombre de mouvements de corps rigides est ne pas attendus à 6. Ils peuvent aussi montrer des problèmes avec le modèle FE, par exemple les modes "sabliers" causés par un choix inapproprié d'éléments.

— alephzero

Merci pour les ajouts, je les incorporerai dans la réponse pour référence future. @alephzero

— Gürkan Çetin

@ JMac merci pour l'expansion. J'avais peu de temps, donc je n'ai pas précisé la version 1D. Va ajouter à la réponse.

— Gürkan Çetin

C'est pourquoi le premier mode d'une structure est souvent (toujours?) Un mode de flexion, c'est un mode qui contient moins d'énergie élastique qu'un mode de torsion. De plus, il est naturel qu'un mode du premier ordre, par exemple, d'un faisceau ait une valeur propre inférieure à un mode de flexion d'ordre supérieur, car il induit moins de contraintes sur le faisceau et contient donc moins d'énergie élastique.

— H. Vabri

La matrice $ \ mathbf {K} $ représente simplement la réponse de force à un déplacement d'unité sur chacun des degrés de liberté du système.

Considérons une poutre en porte-à-faux 2D de longueur $ \ ell $ avec deux degrés de liberté. Le déplacement final $ \ delta $ et la pente finale $ \ theta $. Vous pouvez assembler une matrice de rigidité de la forme $ \ mathbf {f} = \ mathbf {K} \ mathbf {x} $

$$ \ begin {vmatrix} F \\ M \ end {vmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {48 E I} {\ ell ^ 3} & amp; - \ frac {18 E I} {\ ell ^ 2} \\ - \ frac {12 E I} {\ ell ^ 2} & amp; \ frac {6 E I} {\ ell} \ end {bmatrix} \ begin {vmatrix} \ delta \\ \ theta \ end {vmatrix} $$

L'interprétation est la force / le moment nécessaire pour atteindre les déformations de l'unité $ [1 \; 0] $ ou $ [0 \; 1] $ entre les deux colonnes de la matrice.

— ja72
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