Comment dois-je positionner deux supports de tablette pour une meilleure répartition de la charge?

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J'aimerais monter une étagère sur le mur. J'ai deux supports d'étagère pour le faire, comme ceci:

Par rapport à l'étagère, où dois-je placer les supports (bleus) pour obtenir la meilleure répartition de la charge?

mechanical-engineering statics

— Nico Schlömer
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Il y a pas mal de détails qu'il serait utile d'ajouter à cette déclaration de problème. Comment les supports se fixent-ils au mur? Sont-ils attachés physiquement à l'étagère ou repose-t-il librement sur eux? S'étendent-ils sur toute la profondeur de l'étagère? Quelle est l'utilisation prévue de l'étagère (c'est-à-dire des objets légers, des objets lourds, un seul article, votre chat)? De quel matériau l'étagère et les supports sont-ils fabriqués? Les supports sont-ils conçus pour supporter une certaine charge? Quelles sont les dimensions de l'étagère (ou au moins son propre poids)?

— Air

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Comme pour toutes les bonnes choses, cela dépend.

Si vous pouvez supposer que vos supports sont totalement rigides et que le chargement sur l'étagère sera à peu près uniforme, alors vous avez essentiellement la structure suivante:

Une section rectangulaire (telle qu'une planche) se comportera également sous un moment de flexion positif ou négatif, votre objectif doit donc être d'équilibrer les deux. Pour ce faire, vous voulez que votre travée principale soit fois les cantilevers. Ceci est trouvé en calculant le cantilever requis pour compenser la moitié du moment de flexion dû à une charge uniforme le long d'une poutre simplement supportée: $2\sqrt2 \approx 2.83$

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{q L_{m i d}^{2}}{8} - M_{c a n t} \\ M_{c a n t} & = \frac{q L_{c a n t}^{2}}{2} = \frac{M_{m i d}}{2} = \frac{q L_{m i d}^{2}}{16} \\ ∴ 8 L_{c a n t}^{2} & = L_{m i d}^{2} \\ 2 \sqrt{2} L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{qL_{mid}^2}{8} - M_{cant} \\ M_{cant} &= \dfrac{qL_{cant}^2}{2} = \dfrac{M_{mid}}{2} = \dfrac{qL_{mid}^2}{16} \\ \therefore 8L_{cant}^2 &= L_{mid}^2 \\ 2\sqrt2 L_{cant} &= L_{mid} \end{align}$

Si votre étagère peut être vide, à l'exception d'une seule charge concentrée n'importe où, vous devez trouver les points pour les supports où le moment de flexion maximal dû à une charge concentrée sur les bords sera égal à celui d'une charge à mi-portée.

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ M_{c a n t} & = P L_{c a n t} = M_{m i d} = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ ∴ 4 L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ M_{cant} &= PL_{cant} = M_{mid} = \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ \therefore 4L_{cant} &= L_{mid} \\ \end{align}$

En prenant une moyenne des deux cas ci-dessus, j'adopterais une portée principale 3,5 fois plus grande que les cantilevers comme première supposition.

Si vos supports sont lâches, ce qui signifie qu'ils ne tiendront pas l'étagère si elle est soulevée, il y a donc un risque de renversement avec trop de charge sur un cantilever, alors vous devez calculer la charge maximale à laquelle le poids de votre étagère peut résister. . Cependant, il y a trop de variables pour le comprendre trivialement (poids linéaire de l'étagère, poids maximum adopté, etc.). Et, honnêtement, si vos supports sont lâches, vous devez vraiment simplement mettre les supports aux extrémités, ce qui élimine complètement ce risque (mais réduit donc la charge maximale à laquelle l'étagère résistera).

_{Diagrammes obtenus avec Ftool , un programme gratuit d'analyse d'images 2D.}

— Wasabi
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Vous devez prendre en compte plusieurs critères:

Pour répartir la charge le plus uniformément entre les deux supports, placez-les le plus loin possible. Ce serait à la fin dans ce cas.
Le pire objet lourd placé à une extrémité avec rien d'autre sur l'étagère ne doit pas retourner l'étagère. Cela limite la distance entre les extrémités des supports.
La résistance de l'étagère doit être plus élevée pour supporter la même charge que les supports sont plus éloignés. Dans ce cas, considérez la pire charge de cas placée exactement au centre. Même si l'étagère est suffisamment solide pour ne pas être endommagée par une telle charge, le coude résultant peut vous être répréhensible.

Vous seul pouvez décider de la manière dont ces différents critères concurrents se compensent dans votre cas.

— Olin Lathrop
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Une correction: contrairement à # 1, tant que les supports sont placés symétriquement, la charge sera toujours répartie uniformément entre eux. Et # 2 s'applique uniquement si les supports sont lâches (ne peuvent pas gérer la tension).

— Wasabi

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@Was: Pour que votre n ° 1 soit vrai, la charge sur l'étagère doit être répartie uniformément sur l'étagère. Ce n'est pas réaliste pour une «étagère» non spécifiée. Je suis d'accord sur # 2. Cependant, de nombreux supports d'étagère sont juste quelque chose pour que l'étagère repose, donc le basculement est un problème. Même si ce n'est pas le cas, le support qui n'a pas de charge négative obtient plus que la pleine charge, il doit donc être conçu de manière plus robuste. Je suis resté simple et je n'ai pas abordé tout cela, ce qui semblait être plus en phase avec le niveau de la question.

— Olin Lathrop