Une chaise à roues N + 1 est-elle toujours moins stable qu'une chaise à roues N?

Mon lieu de travail a une politique pour fournir des bureaux debout sur demande, mais aucune politique pour fournir des chaises de hauteur assortie. (Je travaille pour le gouvernement ...) Nous pouvons acheter les nôtres ou construire les nôtres. Cependant, ils ont ajouté une stipulation que les chaises doivent être achetées ou construites avec cinq roues ou plus.

Puisque cinq est une symétrie maladroite à mesurer et à s'asseoir, je construirais probablement ma chaise à six roues. Ou peut-être huit parce que je peux commencer par un carré et couper les coins pour faire une base octogonale. Ou peut-être faire de la base un cercle parfait et tapisser le fond avec d'innombrables petites roues?

Cela m'a amené à me demander: existe-t-il une situation dans laquelle une chaise à roues N + 1 est strictement moins stable qu'une chaise à roues N?

Pour rendre la question intéressante et exclure les réponses triviales, supposons que les roues soient plus ou moins au périmètre du fauteuil et plus ou moins uniformément réparties. Supposons que le sol soit plat.

En supposant que toutes les roues sont régulièrement espacées sur le même cercle, plus de roues sont toujours plus stables que moins de roues. Cependant, le rendement diminue à mesure que le nombre de roues augmente.

La métrique de stabilité est à quelle distance du centre du cercle le centre de masse peut être avant que le fauteuil ne bascule. La chaise est stable chaque fois que le centre de masse est à l'intérieur du polygone formé par tous les points de roue. Le pire des cas se situe au centre de l'une des arêtes, car ce sont les points les plus proches du polygone au centre du cercle. Dans la limite, avec un nombre infini de points d'appui, la distance minimale à l'instabilité est le rayon.

On peut donc quantifier la stabilité comme la distance minimale à l'instabilité par rapport au rayon. Une valeur de 1 est le maximum, avec des points de support infinis. Après un petit trig, il est facile de voir que cette métrique de stabilité est:

  S = cos (Π / N)

où N est le nombre de points d'appui. Les mesures de stabilité pour les valeurs de N jusqu'à 20 sont:

   NS
---- ----
   2 0,00
   3 0,50
   4 0,71
   5 0,81
   6 0,87
   7 0,90
   8 0,92
   9 0,94
  10 0,95
  11 0,96
  12 0,97
  13 0,97
  14 0,97
  15 0,98
  16 0,98
  17 0,98
  18 0,98
  19 0,99
  20 0,99

Les chaises de bureau utilisent généralement N = 5, ce qui est un compromis entre être assez bon mais pas trop cher. La stabilité supplémentaire de 7% de l'ajout d'une 6ème roue ne vaut pas le coût. Ou, autrement dit, vous pouvez obtenir la même stabilité que 6 roues en utilisant 5 roues mais en augmentant la base de 7% supplémentaires vers l'extérieur.

Je pense que le règlement "santé et sécurité" sur les 5 roues est un compromis entre stabilité et coût.

Si votre poids est sur le bord du siège de la chaise et que la chaise n'a que 3 roues, elle est beaucoup moins stable si vous êtes aligné avec l'une des roues que si vous tournez de 60 degrés pour être à mi-chemin entre deux roues. Cela peut se produire (1) parce que l'occupant allume le siège, (2) si le fauteuil bouge et qu'une roue heurte un obstacle qui fait tourner les jambes, ou (3) l'occupant est assis au centre du fauteuil, mais se déplace de " penché en avant "à" penché en arrière ".

Le résultat pourrait être qu'une position assise stable devient soudainement instable. Pour une chaise à 3 pieds, la distance stable minimale pour une charge décalée par rapport au centre n'est que la moitié de la distance stable maximale.

Un plus grand nombre de roues réduit ce problème, mais augmente le frottement qui doit être surmonté pour pointer toutes les roues dans la bonne direction pour déplacer le fauteuil. Il est également plus coûteux à fabriquer. Dans le pire des cas de basculement, toute la charge sur le fauteuil est transportée sur une seule roue indépendamment du nombre de roues du fauteuil, donc l'augmentation du nombre de roues ne permet pas de réduire la taille de chaque jambe et roue !

Le "rapport de stabilité min: max" de 0,5 pour un fauteuil à 3 roues augmente à environ 0,7 pour 4 roues, 0,8 pour 5 et 0,9 pour 7 roues. IIRC, les règles de sécurité au Royaume-Uni sont passées de 4 à 5 roues au cours des années 1970.