Comment la force de charge affecte-t-elle l'inertie de la charge?

J'essaie de simuler un treuil comme un moteur à vitesse régulée qui fonctionne à travers une boîte de vitesses pour soulever une masse. La sortie de la boîte de vitesses est un tambour qui tourne pour accumuler le câble.

Je me sens à l'aise de convertir la masse en un moment d'inertie et je me sens également à l'aise de convertir ce moment d'inertie (côté sortie) en moment d'inertie "vu" par le moteur (côté entrée) avec le rapport de boîte de vitesses . Avec une simulation simple, je n'ai aucun problème à écrire les équations du mouvement.

Ma complication survient lorsque je souhaite modéliser "stretch" dans le câble. Je pensais pouvoir le faire en mettant simplement un ressort de rigidité arbitraire entre le tambour du treuil et la masse, comme illustré ci-dessous.

Avec ce modèle, à des fins de simulation, je suppose que je connais la "hauteur du tambour", qui correspond à la distance à laquelle le tambour a tourné multiplié par le rayon du tambour et la hauteur de la charge. La force du ressort serait , mais comment l'appliquer au moteur ?$k(\phi r - y)$

J'ai un modèle de moteur:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ et un modèle de contrôleur PI:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ où est la vitesse du moteur, est la tension aux bornes, est l'inertie de la charge et des machines, et , et sont la résistance d'induit du moteur, la constante de couple et la constante EMF arrière, respectivement.$\Theta$$V$$J$$R_a$$K_T$$K_b$

L'interaction que je souhaite étudier se produit lorsque le contrôleur PI est réglé sur l' inertie de charge prévue , qui se trouverait avec le moteur, la boîte de vitesses, le tambour et la masse de charge, mais le système "voit" en fait la masse élastique.$J$

La simplification se fait en fixant le rapport égal à , donnant:$k_i/k_p$$K_TK_b/R_aJ$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Notez que je peux laisser comme variable car le rapport peut être réglé sur ce que je veux via tant que n'est pas nul.)$k_p$$k_i/k_p$$k_i$$k_p$

Ainsi, dans un monde idéal , où la valeur de l'inertie "totale" est connue à l'avance, le pôle s'annule et l'ensemble du système se réduit à:$J$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Enfin, , donc, avec l'algèbre:$\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Donc, désolé de fusil de chasse autant de détails, mais je voulais impressionner tous ceux qui lisent que je suis confiant avec toutes mes étapes jusqu'à présent et que j'ai consacré des efforts considérables à résoudre ce problème. Maintenant, encore une fois à ma question - je veux simuler l' étirement du câble entre le tambour et la charge, mais je ne sais pas comment utiliser la force du ressort pour moduler l'inertie de la charge.

Une pensée que j'avais était d'essayer de simuler une "masse équivalente", en supposant:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

mais cela ne me semble pas correct, et je ne sais pas ce que j'utiliserais pour l'accélération .$a$

Je suis frustré d'être aussi loin sur le problème et d'être bloqué par ce qui semble être un problème facile, mais je ne peux vraiment pas penser à un moyen d'aborder ce problème. Je pense que si je pouvais l'encadrer correctement, je pourrais travailler sur la mécanique, mais c'est la conversion force-inertie qui, selon moi, doit être faite qui m'a rendu perplexe.

Enfin, pour mémoire, j'ai également essayé de reculer mon modèle de moteur pour inclure le couple de charge. Cela donne des résultats apparemment raisonnables, mais au final, je soustrais le couple de charge du couple moteur pour obtenir le couple net, puis j'applique ce couple net à l'inertie totale pour obtenir l'accélération du moteur. Cela se nourrit sur toute la ligne et, encore une fois, je ne suis pas sûr de traiter correctement l'inertie totale.

Calculons d'abord le modèle. La conception de la commande est un effort distinct.

Le couple appliqué au tambour est , où n est le rapport d'engrenage et est la sortie produite par le moteur. , où est une constante de proportionnalité et est le courant du moteur.$n T_M$$T_M$$T_M= K_T i(t)$$K_T$$i(t)$

Nous pouvons maintenant écrire les équations du système mécanique:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Ici m est la masse et k est la constante du ressort.

Pour écrire l'équation du moteur, nous devons déterminer la FEM arrière. Le back emf est proportionnel à la vitesse du moteur et pour l'écrire en termes de vitesse du tambour, nous le multiplions également par le rapport d'engrenage n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Ici, est la tension appliquée, est l'inductance, est la résistance et est la constante de proportionnalité.$V(t)$$L$$R$$K_b$

Ces trois équations ont comme entrée et , et comme états / sorties. Cela peut être utilisé pour obtenir le modèle d'espace d'état ou le modèle de fonction de transfert. (Les éléments suivants ont été obtenus à l'aide de Mathematica)$V(t)$$i(t)$$\theta (t)$$y(t)$

La conception des commandes peut maintenant commencer ...

Mise à jour

Puisqu'il y a eu une certaine confusion sur l'inertie à utiliser, permettez-moi de clarifier la réponse. Je vais supposer un jeu d'engrenages dans la boîte de vitesses - un engrenage à inertie côté tambour et un engrenage à inertie côté moteur.$J_1$$J_2$

Dans la réponse ci-dessus, j'ai négligé l'inertie des engrenages. Le seul changement qui doit être fait maintenant est de modifier la deuxième équation comme suit.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Si l’équation pour décrire la dynamique transitoire de l’arbre moteur est également souhaitée, c’est une équation supplémentaire impliquant (rotation de l’arbre moteur), l’inertie , etc. Cependant, cela n’est pas nécessaire si l’objectif est de contrôler la position du tambour.$\theta_M$$J_2$

Étirement dans le delta du printemps Donc le delta Y n'est pas constant mais si vous êtes intéressé par le delt Y_max $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

delta , selon la loi de Hooks. Parce que votre système n'accélère pas, sauf au début et à la fin, en supposant que la poulie démarre et s'arrête soudainement, c'est votre maximum. Toute accélération progressive de démarrage / arrêt devra être soustraite de l'accélération du ressort qui est$Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

en regardant le diagramme du corps libre de la masse
Comme vous l'avez noté, la force est$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
diviser les deux côtés par K on obtient:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

J'espère que cela vous aidera.

Je me rends compte que c'est un vieux fil, et je ne suis pas sûr de la profondeur d'une plongée que vous avez finalement entreprise, mais une chose que je ne vois pas prise en compte dans vos équations est la friction du tambour / câble. Ce sera petit, et comme la masse accumulée du câble métallique enroulé que vous n'avez pas inclus, il se peut qu'il ne soit pas sur votre liste. Le câble peut être pré-étiré et préchargé, mais tout mouvement entre le câble et le tambour dû à l'étirement du câble rencontrera également des frottements. Dans mon industrie (gréement de théâtre, conception de machines de scène), la rainure entre en contact avec une zone plus grande qu'une application de tambour plat, et nous avons généralement un frottement supplémentaire le long des réas et des mules de redirection dans le jeu de lignes pour tenir compte en particulier en 2: 1 ou 4: 1 systèmes d'avantages mécaniques.

Je pense que l'approche de Suba Thomas donne un bon modèle: commencer par la somme des forces à la charge et la somme des moments au tambour. Déterminez ensuite le modèle de moteur requis.

Le modèle de moteur initial du mandrin a besoin d'un système rigide où une seule valeur pour le moment d'inertie peut être calculée, tandis que l'objectif du modèle est:

L'interaction que je souhaite étudier se produit lorsque le contrôleur PI est réglé sur l'inertie de charge prévue $J$, qui se trouverait avec le moteur, la boîte de vitesses, le tambour et la masse de charge, mais le système "voit" en fait la masse élastique.

Une remarque à propos de l'inertie dans l'équation du moment du tambour de Suba Thomas: N'oubliez pas l'inertie du moteur augmentée au tambour. Selon le moteur choisi, son influence peut être importante. Je choisirais donc$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$