Comment convertir une expression de SOP en POS et revenir en algèbre booléenne?

Comment convertir une expression Sum of Products (SOP) en forme Product of Sums (POS) et vice versa en algèbre booléenne?

par exemple: F = xy '+ yz'

Je pense que le moyen le plus simple est de convertir en k-map, puis d'obtenir le POS. Dans votre exemple, vous avez:

  \ xy
 z \  00    01    11    10
    +-----+-----+-----+-----+
 0  |     |  x  |  x  |  x  |
    +-----+-----+-----+-----+
 1  |     |     |     |  x  |
    +-----+-----+-----+-----+

Dans ce cas, l'exclusion de la colonne de gauche donne (x + y) et l'exclusion des deux cases du milieu en bas donne (z '+ y'), donnant une réponse de (x + y) (z '+ y')

F = xy '+ yz' c'est sous forme SOP

Cela peut également être utilisé en utilisant des techniques d' algèbre booléenne simple comme:

Application de la loi distributive : - F = ( xy ') + y . z '

F = ( xy ' + y) . ( xy '+ z') qui est maintenant converti en forme POS .

Une autre méthode consiste simplement à prendre le compliment de l'expression donnée:

Comme: xy '+ yz'

Prendre son compliment:
(xy '+ yz') '

= (xy ')'. (yz ')' {Utiliser la loi de De Morgans (a + b) '= a'.b'}

= (x '+ y) (y' + z)

Ce qui est aussi un formulaire POS ...!

Utilisez deux fois la loi de DeMorgan.

Appliquer la loi une fois:

F' = (xy' + yz')'
   = (xy')'(yz')'
   = (x'+y)(y'+z)
   = x'y' + x'z + yy' + yz
   = x'y' + x'z + yz

Appliquer à nouveau:

F=F''
 =(x'y'+x'z+yz)'
 =(x'y')'(x'z)'(yz)'
 =(x+y)(x+z')(y'+z')
 =(x+y)(y'+z')

Vérifiez la réponse en utilisant wolframalpha.com

xy '+ yz'

(x + y) (y '+ z')

Edit: La réponse peut être simplifiée une étape de plus par la loi de consensus de l' algèbre booléenne

Si vous voulez vérifier votre travail après l'avoir fait à la main, vous pouvez utiliser un programme comme Logic Friday .

C'est en termes minimum / somme de produits [SOP] et maximum / produit de sommes [POS], nous pouvons donc utiliser une carte de Karnaugh (carte K) pour cela.

Pour SOP, nous apparions 1 et écrivons l'équation d'appariement dans SOP alors que cela peut être converti en POS en y associant 0 et en écrivant l'équation sous forme POS.

$x \cdot y \cdot z$$x+y+z$

Voir la procédure sous Forme normale conjonctive: conversion à partir d'une logique de premier ordre .

Cette procédure couvre le cas plus général de la logique du premier ordre, mais la logique propositionnelle est un sous-ensemble de la logique du premier ordre.

Simplifier en ignorant la logique du premier ordre, c'est:

• Élimine les implications
• Déplacez les négations vers l'intérieur en appliquant la loi de DeMorgan
• Répartir les disjonctions sur les conjonctions

Évidemment, si votre entrée est déjà en DNF (aka SOP), alors évidemment les première et deuxième étapes ne s'appliquent pas.

Soit x = ab'c + bc '

x '= (ab'c + bc') '

Selon le théorème de DeMorgan, x '= (a' + b + c ') (b' + c)

x '= a'b' + a'c + bb '+ bc + c'b' + c'c

x '= a'b' + a'c + bc + c'b '

En utilisant à nouveau le théorème de DeMorgan, x = (a'b '+ a'c + bc + c'b') '

x = (a + b) (a + c ') (b' + c ') (c + b)