Preuve mathématique que la tension RMS multipliée par le courant RMS donne une puissance moyenne

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Je sais que c'est vrai parce que je l'ai lu dans une source fiable. Je comprends aussi intuitivement que la puissance est proportionnelle au carré de tension ou de courant pour une charge résistive, et que le "S" en RMS est pour "carré". Je cherche une preuve mathématique dure.

Soit le courant à l'instant , et de même la tension à cet instant. Si nous pouvons mesurer la tension et le courant à tous les instants, et qu'il y a instants, alors la puissance apparente moyenne est: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Qu'est-ce qu'une élégante preuve mathématique

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

obtient le même résultat pour les charges résistives?

power math rms

— Phil Frost
source

Si je me souviens bien, il devrait y avoir une preuve qui indique comment RMS est l'approximation la plus proche de la valeur réelle d'un signal dans la durée de temps d'intérêt. En utilisant cela, nous pourrions probablement prouver que

. Malheureusement, il semble que j'ai perdu le livre qui en avait la preuve. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

Temps RMS actuels La tension RMS n'est pas égale à la puissance moyenne. Il est égal à la puissance apparente (moyenne). Si vous avez des charges non résistives, cela peut faire la différence.

— SomeoneSomewhereSupportsMonica

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Loi d'Ohm

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

La dissipation de puissance instantanée est le produit de la tension et du courant

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Remplacez 1 par 2 pour obtenir une puissance instantanée à travers une résistance en termes de tension ou de courant:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T} = P_{a v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— Stephen Collings
source

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La preuve très simple (dans le cas d'échantillonnage discret de la question) est par substitution de E / R à I dans l'équation RMS

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

et l' algèbre très simple.

Et oui, cela est vrai car il est spécifié que nous avons une charge purement résistive donc il n'y a pas de problème d'angle de phase et pas d'harmonique présent dans I qui n'est pas également présent dans E.

ÉDITER

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (I_{1}^{2} + I_{2}^{2} + \dots + I_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

I_{i} = V_{i} / R

$I_i = V_i/R$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

puis:

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

Extraire le 1 / R ^ 2

I_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

donc:

V_{R M S} * I_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

distribuer le 1 / R:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Utiliser à nouveau la substitution de la loi d'Ohm:

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

lequel est:

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
source

Si l'algèbre est simple, pouvez-vous nous le montrer? Vous pouvez utiliser le balisage LaTeX pour composer les mathématiques.

— Phil Frost

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Merci pour l'encouragement. Je n'avais pas utilisé LaTex depuis 1983.

— George White

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La clé est que pour une charge résistive, la tension et le courant sont en phase.

$\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

$1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

$\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Donc pour répondre à la question, la tension et le courant RMS sont définis en fonction de la puissance moyenne: chacun est dérivé de la racine carrée de la puissance moyenne. La multiplication de deux valeurs obtenues à partir de la racine carrée de la puissance moyenne récupère la puissance moyenne.

— Kaz
source

Je pense que la réponse de Stephen Colling est la meilleure. Il ne repose pas sur les détails de la forme d'onde et couvre le cas des continuos. De plus, «la tension ou le courant quadratique moyen sont la tension et le courant équivalents DC qui produiront la même dissipation de puissance au fil du temps» semble répondre à la question en supposant la réponse, puis en faisant un cercle pour obtenir la réponse.

— George White

-2

Permet de simplifier davantage ce problème sans calcul. Prenez ce circuit simple qui produit une forme d'onde carrée avec une période de 10 secondes.

entrez la description de l'image ici

La tension est comme ça

entrez la description de l'image ici

et le courant est

entrez la description de l'image ici

Ensuite, la forme d'onde de puissance sera

entrez la description de l'image ici

Lorsque l'interrupteur est ouvert, aucune alimentation n'est fournie à la résistance, l'énergie totale est donc de 10 watts X 5 secondes = 50 Joules, et c'est la même chose que nous appliquons 5 watts en 10 secondes entrez la description de l'image ici

et c'est la puissance moyenne. La tension moyenne est de 5 volts et le courant moyen est de 0,5 ampère. En faisant un calcul simple, la puissance moyenne donne 2,5 watts ou 25 joules, ce qui n'est pas vrai.

Faisons donc cette astuce AVEC CETTE COMMANDE:

Premier carré de la tension (et du courant)
Deuxième prendre la moyenne du carré
Ensuite, prenez la racine carrée de la moyenne

Le carré de la forme d'onde de tension sera

entrez la description de l'image ici

Et la moyenne est de 50V ^ 2 (pas de 50 ^ 2 volts). À partir de là, oubliez la forme d'onde. Seules les valeurs. La racine carrée de la valeur ci-dessus est de 7 071… volts RMS. Faire de même pour le courant trouvera 0,7071..A RMS Et la puissance moyenne sera de 7,071V x 0,7071A = 5 Watt

Si vous essayez de faire la même chose avec une puissance RMS, le résultat sera une moyenne de 7 071 watts.

Donc, la seule puissance de chauffage équivalente est la puissance moyenne et la seule façon de calculer est d'utiliser les valeurs efficaces de la tension et du courant

— GR Tech
source

Ne peut-on pas calculer la puissance moyenne dissipée dans une résistance comme la moyenne de la puissance instantanée? Où est la preuve mathématique que le PO a demandé?

— Joe Hass

Pour certaines formes d'onde complexes, nous devons les intégrer en utilisant des intervalles de temps proches de zéro pour des valeurs moyennes exactes. J'évite d'utiliser n'importe quel calcul, c'est pourquoi j'utilise l'onde carrée qui est très facile de voir le sens de la moyenne. RMS est également une valeur moyenne.

— GR Tech

Il me semble que vous montrez que la puissance moyenne réelle est de 5 watts et que RMS V * RMS I = 5 watts démontrant, dans ce cas, que l'OP est correct. Vous montrez également que, dans ce cas, la moyenne V * I moyenne = 2,5 watts.

— George White

OK, je comprends. Problème de langue à nouveau. Ce que j'ai essayé de dire, c'est que le calcul Vavg x Iavg n'est pas correct. Merci de me décourager!

— GR Tech

Si "RMS est également une valeur moyenne", alors pourquoi la valeur RMS de la tension du réseau électrique n'est-elle pas égale à 0,0 V tout comme la valeur moyenne?

— Joe Hass