Différence entre réponse naturelle et réponse forcée?

Référence

Deuxième post sur EdaBoard.com

La réponse temporelle d'un système est l'évolution temporelle des variables. Dans les circuits, il s'agirait des formes d'onde de tension et de courant en fonction du temps.

La réponse naturelle est la réponse du système aux conditions initiales avec toutes les forces externes mises à zéro. Dans les circuits, ce serait la réponse du circuit aux conditions initiales (courants initiaux sur les inducteurs et tension initiale sur les condensateurs par exemple) avec toutes les tensions indépendantes réglées à zéro volt (court-circuit) et les sources de courant réglées à zéro ampère (circuit ouvert ). La réponse naturelle du circuit sera dictée par les constantes de temps du circuit et en général les racines de l'équation des caractéristiques (pôles).

La réponse forcée est la réponse du système à un stimulus externe avec des conditions initiales nulles. Dans les circuits, ce serait simplement la réponse du circuit à la fonction de forçage de la source de tension et de courant externe ... continuer la lecture

Des questions

1. Comment peut-il y avoir même une réponse naturelle? Quelque chose doit être entré pour créer une sortie? La façon dont je le vois, c'est comme fermer la conduite d'eau principale, puis ouvrir votre robinet et attendre que l'eau sorte.

2. Comment pouvons-nous v(t)(à partir du lien ci-dessus) être résolus si nous ne savons pas dv(dt)afin de trouver la réponse naturelle?

3. Si vous pouvez développer les 2 concepts (réponse naturelle et réponse forcée) en expliquant leurs différences en termes de Layman, ce serait bien.

1. Étant donné une équation 10dy/dt + 24y = 48signifie rate of change of output + 24 * output = 48. Les conditions initiales sont y(0)=5et dy/dt=0.
   • Cela signifierait que l'entrée est 48/(24*5)Est-ce une hypothèse correcte? La solution à cela est 0.4quelle est l'entrée constante?

Pensez à un système mécanique simple comme une barre élastique ou un bloc attaché à un ressort contre la gravité, dans le monde réel. Chaque fois que vous donnez une impulsion au système (au bloc ou à la barre), ils commenceront une oscillation et bientôt ils cesseront de bouger.

Il existe des moyens d'analyser un système comme celui-ci. Les deux moyens les plus courants sont:

1. Solution complète = solution homogène + solution particulière

2. Réponse complète = Resopnse naturelle (entrée zéro) + réponse forcée (état zéro)

Comme le système est le même, les deux devraient produire la même équation finale représentant le même comportement. Mais vous pouvez les séparer pour mieux comprendre ce que chaque partie signifie physiquement (spécialement la deuxième méthode).

Dans la première méthode, vous pensez plus du point de vue d'un système LTI ou d'une équation mathématique (équation différentielle) où vous pouvez trouver sa solution homogène puis sa solution particulière. La solution homogène peut être considérée comme une réponse transitoire de votre système à cette entrée (plus ses conditions initiales) et la solution particulière peut être considérée comme l'état permanent de votre système après / avec cette entrée.

La deuxième méthode est plus intuitive: la réponse naturelle signifie quelle est la réponse du système à sa condition initiale. Et la réponse forcée est la réponse du système à cette entrée donnée, mais sans conditions initiales. En pensant à l'exemple de barre ou de bloc que j'ai donné, vous pouvez imaginer qu'à un moment donné, vous avez poussé la barre avec vos mains et que vous la tenez là. Cela peut être votre état initial. Si vous le laissez simplement partir, il oscillera puis s'arrêtera. Il s'agit de la réponse naturelle de votre système à cette condition.

Vous pouvez également le laisser partir mais continue à donner un peu d'énergie supplémentaire au système en le frappant à plusieurs reprises. Le système aura sa réponse naturelle comme auparavant, mais montrera également un comportement supplémentaire en raison de vos coups supplémentaires. Lorsque vous trouvez la réponse complète de votre système par la deuxième méthode, vous pouvez voir clairement quel est le comportement naturel du système en raison de ces conditions initiales et quelle est la réponse du système s'il n'avait que l'entrée (sans conditions initiales). Ils représentent tous les deux ensemble le comportement du système.

Et notez que la réponse Zero State (réponse forcée) peut également consister en une portion "naturelle" et une portion "particulière". En effet, même sans conditions initiales, si vous donnez une entrée au système, il aura une réponse transitoire + une réponse d'état permanent.

Exemple de réponse: imaginez que votre équation représente le circuit suivant:

Quelle est votre sortie y (t) est le courant du circuit. Et imaginez que votre source est une source DC de + 48v. De cette façon, en faisant la somme de la tension de l'élément dans ce chemin fermé, vous obtenez:

$\epsilon=V_L+V_R$

On peut réécrire la tension d'inductance et la tension de résistance en termes de courant:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Si nous avons une source d'alimentation de + 48VDC et L = 10H et R = 24Ohms, alors:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

qui est exactement l'équation que vous avez utilisée. Donc, votre entrée dans le système (circuit RL) est clairement votre alimentation de + 48v seulement. Donc, votre entrée = 48.

Les conditions initiales que vous avez sont y (0) = 5 et y '(0) = 0. Physiquement, cela représente qu'à un moment = 0, mon courant du circuit est de 5A mais il ne varie pas. Vous pouvez penser que quelque chose s'est produit précédemment dans le circuit qui a laissé un courant dans l'inductance de 5A. Donc, à ce moment donné (moment initial), il a ces 5A (y (0) = 5) mais il n'augmente ni ne diminue (y '(0) = 0).

Le résoudre:

$Ae^{st}$

$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Donc,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Puisque nous savons que i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

$t=+\infty$

Maintenant, nous pouvons trouver la solution particulière à l'équation qui représentera l'état permanent en raison de la présence d'alimentation (entrée):

$i(t)=c$$c$

Donc,

$\frac{di}{dt}=0$

puis,

$48 = 0.10 + 24c$

$c=2$

$i(\infty)=2$

ce qui est également logique car nous avons une alimentation CC. Ainsi, après la réponse transitoire de la mise sous tension de l'alimentation CC, l'inductance se comportera comme un fil et nous aurons un circuit résistif avec R = 24Ohms. Ensuite, nous devrions avoir 2A de courant puisque l'alimentation a 48V à travers.

Mais notez que si j'ajoute simplement les deux résultats pour trouver la réponse complète, nous aurons:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Maintenant, j'ai foiré les choses dans l'état transitoire parce que si je mets t = 0, nous ne trouverons plus i = 5 comme avant. Et nous devons trouver i = 5 t = 0 , car il est une condition initiale donnée. En effet, la réponse à l'état zéro a un terme naturel qui n'existe pas et a également le même format que celui que nous avons trouvé précédemment. L'ajouter là:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

La constante de temps est la même, elle ne nous a donc laissé que B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

Et nous savons que:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$

Donc,

$B=-2$

Ensuite, votre solution complète est:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

vous pouvez penser à ce dernier terme que nous trouvons comme un terme de correction de la réponse forcée pour correspondre aux conditions initiales. Une autre façon de le trouver est d'imaginer le même système, mais sans conditions initiales. Ensuite, en résolvant à nouveau complètement, nous aurions:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Mais comme nous ne considérons pas maintenant les conditions initiales (i (0) = 0), alors:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

Et quand t = 0:

$A=-2$

donc la réponse forcée (Zero-State) de votre système est:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

C'est un peu déroutant, mais maintenant vous pouvez voir les choses sous différents angles.

- Solutions homogènes / particulières:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Le premier terme (2) est la solution particulière et représente l'état permanent. Le reste du côté droit est la réponse transitoire, également appelée solution homogène de l'équation. Certains livres appellent cela aussi réponse naturelle et réponse forcée, car la première partie est la partie forcée (en raison de l'alimentation) et la deuxième partie est la partie transitoire ou naturelle (caractéristique du système). C'est le moyen le plus rapide pour trouver la réponse complète, je pense, car il suffit de trouver l'état permanent et une réponse naturelle une seule fois. Mais peut-être pas clair ce qui représente quoi.

-Zéro entrée / état zéro:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

$2 - 2e^{-2,4t}$

$5e^{-2,4t}$

Certaines personnes appellent également ce format de réponse naturel / forcé. La partie naturelle serait Zero-Input et la partie Forced serait le Zero-State, qui soit dit en passant se compose d'un terme naturel et d'un terme particulier.

Encore une fois, ils vous donneront tous le même résultat qui représente l'ensemble du comportement de la situation, y compris la source d'alimentation et les conditions initiales. Notez simplement que dans certains cas, il peut être utile d'utiliser la deuxième méthode. Un bon exemple est lorsque vous utilisez des convolutions et que vous pouvez trouver la réponse impulsionnelle à votre système avec Zero-State. Donc, briser ces termes pourrait vous aider à voir les choses clairement et à utiliser un terme adéquat pour convoquer.

Comment peut-il y avoir même une réponse naturelle? Quelque chose doit être entré pour créer une sortie?

Si cela aide, pensez à la réponse naturelle comme la réponse forcée à une entrée d'impulsion.

La façon dont je le vois, c'est comme fermer la conduite d'eau principale, puis ouvrir votre robinet et attendre que l'eau sorte.

Imaginez que la conduite d'eau principale est connectée à un grand réservoir de rétention comme celui utilisé dans les systèmes d'eau de puits et que vous fermez la vanne à la conduite d'eau principale.

Le réservoir a été rempli d'eau et est mis sous pression jusqu'à la pression principale de l'eau avant de fermer la vanne. Ceci est la condition initiale .

Si vous ouvrez le robinet, de l' eau sortira . Le réservoir de rétention fournira de l'eau pendant une certaine période de temps, car le réservoir de rétention se vide et la pression au robinet diminuera. Cette diminution du débit d'eau et de la baisse de pression serait la réponse naturelle du système.

Maintenant, après que le réservoir de rétention a été vidé, vous ouvrez rapidement la vanne principale d'eau tandis que le robinet est toujours ouvert.

La majeure partie du débit d'eau est initialement destinée à «charger» le réservoir de rétention et, à mesure que le réservoir se remplit et que la pression augmente, l'eau s'écoule à un débit croissant du robinet jusqu'à ce que le réservoir soit plein et que le débit et la pression se stabilisent.

Il s'agit de la réponse forcée à une entrée pas à pas .

C'est le problème avec les manuels qui ne définissent pas tout clairement pour que tout le monde puisse comprendre les définitions. La réponse naturelle parle vraiment d'un système qui avait (à un moment donné) été `` chargé '' de telle sorte que les éléments de stockage d'énergie contiennent une certaine quantité d'énergie initiale, qui pourrait se traduire par une tension initiale dans un condensateur ou un courant initial dans une inductance. Il en résulte des valeurs de condition initiales pour les condensateurs ou les inductances. Ensuite, à un instant t = 0, on suppose que la source magique qui était chargée d'alimenter le circuit est instantanément supprimée. Donc, si la source magique avait été une source de tension, alors la "retirer" pourrait signifier la retirer physiquement ou la couper du circuit. Donc, au temps t = 0, la réponse naturelle sera simplement le comportement d'un courant à travers une inductance ou un condensateur, ou une tension aux bornes d'un condensateur ou d'une inductance. Et le circuit n'est alimenté que par ces composants initialement chargés (car nous supposons qu'il n'y a pas d'entrée de source «externe» pour l'instant t = 0).

Donc, pour la réponse naturelle, c'est vraiment un cas où il y avait "une fois" une entrée externe pour produire les conditions initiales dans les inductances et les condensateurs. Maintenant, si le système n'était pas chargé au départ, de sorte que toutes les tensions et tous les courants des condensateurs et des inducteurs étaient nuls au départ, alors quelle serait la réponse naturelle du système? Réponse: zéro.

Maintenant, la réponse forcée est la réponse d'un circuit (comme un comportement en tension ou en courant) dans le cas où nous supposons que les inductances et les condensateurs n'ont pas d'énergie initiale pour commencer, ce qui signifie pas de tension initiale ou de courants initiaux dans ces composants . Et puis, tout d'un coup, nous appliquons une force externe (source) à l'entrée du circuit. Le comportement des courants et / ou des tensions du circuit pour ce scénario vient de recevoir un nom .... appelé réponse forcée. Fondamentalement, il s'agit d'une réponse à une entrée de source basée sur l'hypothèse que nous avons commencé avec des conditions initiales d'énergie ZÉRO dans les inductances et les condensateurs.

Une fois que nous avons utilisé des méthodes pour obtenir facilement la réponse naturelle et la réponse forcée, nous ajoutons simplement les deux parties pour obtenir l'image complète. Un peu comme le principe de superposition.

Je ne connais pas le terme «réponse forcée» dans ce contexte, mais voici. De nombreux systèmes peuvent être qualifiés de premier ordre plus temps mort (FOPDT). La «réponse naturelle» d'un tel système au stimulus est un retard initial suivi d'une approche exponentielle d'un nouvel état stationnaire.

Pensez à un élément chauffant alimenté par une source de tension variable. Les conditions initiales sont la mise hors tension et le chauffage à température ambiante. Allumez à dire 10 volts. Pendant une courte période (le temps mort), la température du réchauffeur ne change pas. La température commence alors à augmenter, d'abord rapidement, puis à se stabiliser progressivement à un nouvel état stationnaire. Si vous avez soigneusement observé les temps impliqués, vous aurez trois caractéristiques naturelles du système:

1. Gain - exprimé en degrés / volt. Si les 10 volts ont provoqué un gain de 20 degrés, alors gain = 2. Donc, pour une entrée de 20 volts, vous devez vous attendre à une augmentation de 40 degrés par rapport à la température ambiante.
2. Temps mort - délai à attendre en réponse à un changement d'entrée. (inertie)
3. Constante de temps ou fréquence naturelle - le temps entre le début du changement et l'état d'équilibre est de 5 constantes de temps. (comme charger un condensateur)

Avec ces données, vous pouvez prédire le changement de température à prévoir pour un changement de tension donné et combien de temps cela prendra, c'est-à-dire une réponse naturelle.

Je suppose qu'une «réponse forcée» entraînerait une stimulation excessive du système pour obtenir un résultat plus rapide. Donc, pour augmenter de 30 degrés, nous savons que nous avons besoin d'une augmentation de 15 volts en entrée. En augmentant brièvement la tension de 25 volts puis en reculant de 10 volts, nous pourrions atteindre la température finale souhaitée plus rapidement, c'est-à-dire «forcer» une réponse plus rapide.