Les transformées de Laplace peuvent être considérées comme un super ensemble pour CTFT. Vous voyez, sur un ROC si les racines de la fonction de transfert sont sur l’axe imaginaire, c’est-à-dire que pour s = σ + jω, σ = 0, comme mentionné dans les commentaires précédents, le problème des transformations de Laplace est réduit à la transformée de Fourier en temps continu. Pour revenir un peu en arrière, il serait bon de savoir pourquoi les transformations de Laplace ont d'abord évolué avec les transformations de Fourier. Vous voyez, la convergence de la fonction (signal) est une condition obligatoire pour qu'une transformée de Fourier existe (absolument sommable), mais il existe également des signaux dans le monde physique où il n'est pas possible d'avoir de tels signaux convergents. Mais, puisque leur analyse est nécessaire, nous les faisons converger, en lui multipliant un e ^ σ exponentiel décroissant monotone, ce qui les fait converger par sa nature même. Ce nouveau σ + jω se voit attribuer un nouveau nom, «s», auquel nous substituons souvent le terme «jω» pour la réponse des signaux sinusoïdaux des systèmes LTI causaux. Dans le plan s, si le ROC d'une transformation de Laplace recouvre l'axe imaginaire, sa transformation de Fourier existera toujours, car le signal convergera. Ce sont ces signaux sur l’axe imaginaire qui comprennent des signaux périodiques e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (de Euler).
De la même manière, z-transform est une extension de DTFT pour, d’une part, les faire converger, d’autre part, pour rendre nos vies beaucoup plus faciles. Il est plus facile de traiter avec az que avec ae ^ jω (régler r, le rayon du cercle ROC est faible).
En outre, vous êtes plus susceptible d'utiliser une transformation de Fourier que Laplace pour des signaux non causaux, car les transformations de Laplace facilitent la vie beaucoup plus facilement lorsqu'elles sont utilisées en tant que transformations unilatérales (à un côté). Vous pouvez également les utiliser des deux côtés, le résultat sera le même avec certaines variations mathématiques.