Quelqu'un se souvient-il de cet article sur l'algorithme euclidien?

Dans les années 70, j'avais une pile de vieux magazines de radio amateur (années 50-60), et pendant longtemps j'ai enregistré un article sur l'utilisation de l' algorithme euclidien pour combiner un certain nombre de résistances pour atteindre une valeur spécifique. Quelqu'un se souvient-il et a-t-il une copie de cet article, ou sait-il comment l'algorithme euclidien est appliqué pour résoudre ce problème?

resistors

— Gene M.
source

Il est en fait basé sur la théorie de fractions continues , qui est étroitement liée à la méthode d'Euclide pour trouver le GCD entre deux nombres.

Voici un exemple: supposons que vous ayez un tas de résistances de précision 10K et que vous ayez besoin d'une valeur de résistance de 27K pour votre projet. Vous avez besoin d'une combinaison des résistances 10K en série et / ou parallèle pour produire cette résistance.

Commencez par écrire le rapport des deux résistances:

27K / 10K = 2,7

Cela signifie que vous avez besoin de deux résistances en série avec une combinaison qui donne 0,7 d'une résistance.

En utilisant le concept de fractions continues, vous pouvez réécrire le nombre 2,7 en 2 + 1 / 1,42857. De plus, vous pouvez diviser le nombre 1.42587 en 1 + 1 / 2.3333.

Maintenant, si vous regardez à nouveau la première fraction, elle peut s'écrire

\frac{1}{1.42857} = \frac{1}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2,3333}}

$\frac{1}{1.42857} = \frac{1}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2.3333}}$

Notez que cela se trouve être l'expression de deux résistances en parallèle; dans ce cas, une résistance en parallèle avec 2.3333 résistances.

Comment trouvez-vous des résistances 2.333? Vous pouvez à nouveau parcourir l'algorithme, mais il devrait être évident en inspectant que vous avez besoin de deux résistances en série avec la combinaison parallèle de trois autres résistances. Le réseau final finit par ressembler à ceci, et il a une résistance d'exactement 27K.

schématique

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

De toute évidence, tous les exemples ne fonctionneront pas bien. En général, vous devez décider quand arrêter l'itération en fonction du moment où la précision du réseau que vous avez jusqu'à présent est "assez proche".

La forme généralisée de l'algorithme se présente comme suit: Déterminez le rapport X = R _souhaité / R _disponible . Écrivez X comme une fraction continue, où A, B, C, D, E, etc. sont tous des entiers:

X = UNE + \frac{1}{B + \frac{1}{C + \frac{1}{ré + \frac{1}{E + \frac{1}{. . .}}}}}

$X = A + \frac{1}{B + \frac{1}{C + \frac{1}{D + \frac{1}{E + \frac{1}{...}}}}}$

Construisez votre réseau avec

Une résistance en série avec ...
Résistances B en parallèle avec ...
Résistances C en série avec ...
Résistances D en parallèle avec ...
Résistances E en série avec ...

... et ainsi de suite, jusqu'à ce que vous obteniez une sous-expression sans partie fractionnaire ou que vous soyez "assez proche" du résultat souhaité.

Notez que si X est inférieur à un pour commencer, alors A sera nul, ce qui signifie simplement que vous commencez avec une combinaison parallèle de résistances et que vous procédez à partir de là. Notez également que tant que X est un nombre rationnel, la séquence des fractions continues sera finie.

— Dave Tweed
source

Cette construction (lors de l'utilisation de résistances de même valeur) est connue sous le nom d' approximation d' arbre Stern-Brocot . Je me demande comment généraliser à plus d'une valeur dans le bac à pièces ...

— Fizz