Modélisation mathématique d'un circuit RC avec une entrée linéaire


8

J'ai trouvé de nombreux documents et livres qui modélisent le comportement de la tension aux bornes d'un condensateur dans un circuit RC transitoire, en utilisant l'équation suivante:

VC=VMAX(1et/RC)

Malheureusement, je n'ai trouvé aucune ressource qui explique comment modéliser mathématiquement un circuit RC, ne serait-ce qu'une pour fournir une source de tension à augmentation linéaire en entrée.

Tenter de remplacer VMAX dans l'équation ci-dessus, pour une équation linéaire, entraîne une équation qui converge vers l'équation linéaire, ce qui signifie que le courant cesserait après un certain temps (I = (VS-VC) / R). C'est évidemment faux, car nous devrions voir l'approche actuelle une valeur constante avec le temps, comme indiqué par:

IC=CdVdt

Je sais parfaitement comment la tension aux bornes d'un condensateur se comporterait avec une source de tension qui augmente linéairement, il existe de nombreux simulateurs qui affichent cela, et je peux même penser à une explication physique des résultats. Ce que je veux savoir, c'est comment on pourrait modéliser mathématiquement la tension aux bornes d'un condensateur avec une source de tension augmentant linéairement, d'une manière similaire à l'équation qui modélise la tension aux bornes d'un condensateur en transitoires.


3
La première équation que vous utilisez est la solution particulière pour un circuit série RC avec une source de tension fixe , avec des conditions initiales (pré) définies. Dans votre cas, vous devriez recommencer par dessiner votre circuit, appliquer à nouveau les lois de Kirchhoff et résoudre l'ODE. Donc, aucune substitution dans la mauvaise solution particulière .
Huisman

1
La première équation est le résultat de la résolution de KVL pour une fonction de pas. Vous devez résoudre le cas de la rampe.
Mattman944

Pour un signal d'entrée général et un système de premier ordre, vous devez résoudre l'équation différentielle en utilisant la méthode du facteur d'intégration .
Chu

Votre première équation est la réponse impulsionnelle du circuit RC. Prenez la convolution de la réponse impulsionnelle et votre fonction linéaire. Cela vous donnera la sortie du circuit.
user4574

Réponses:


13

Malheureusement, je n'ai trouvé aucune ressource qui explique comment modéliser mathématiquement un circuit RC, ne serait-ce qu'une pour fournir une source de tension à augmentation linéaire en entrée.

Cette réponse consiste à convertir le circuit en une fonction de transfert dans le domaine fréquentiel, puis à multiplier ce TF par la transformée de Laplace de l'entrée pour obtenir l'équivalent dans le domaine fréquentiel de la sortie. Enfin, une opération inverse de Laplace est effectuée pour obtenir la formule de domaine temporel pour la sortie.

La transformée de Laplace d'un filtre RC passe-bas est: -

11+sRC

Il s'agit de la fonction de transfert du domaine fréquentiel, donc si vous multipliez cela par l'équivalent du domaine fréquentiel d'une rampe (1s2) vous obtenez la sortie du domaine fréquentiel: -

1s2(1+sRC)

En utilisant une table de transfert inverse laplace, cela a une sortie de domaine temporel de: -

t+RCe(tRC)RC

Voir l'élément 32 sur le tableau ou, si la formule n'avait pas d'entrée de tableau évidente, vous pouvez utiliser une calculatrice de Laplace inverse qui le résout numériquement comme celui-ci .

La calculatrice vous permet de créer la formule et d'entrer une valeur numérique pour RC. J'ai utilisé une valeur RC 7 dans l'exemple ci-dessus afin que je puisse voir comment ce nombre s'est propagé à la réponse finale. Le dernier obstacle consiste à remplacer cette valeur propagée de 7 par RC. En d'autres termes c'est un solveur numérique mais néanmoins un outil très utile à avoir sous la main: -

entrez la description de l'image ici


2
Excellente solution, mais vous devez ajouter une constante pour le taux de rampe. Peut-être: vr = Vr * t
Mattman944

@ Mattman944 ​​peut-être que je devrais mais j'ai supposé une rampe de 1 volt par seconde!
Andy aka

Oui, bien sûr 1 V / s, mais l'OP veut probablement une solution générale.
Mattman944

3
@ Mattman944 ​​Je pense que notre petite discussion donnera suffisamment d'indices sur le PO.
Andy aka

7

Pour un signal d'entrée général et un système de premier ordre, vous pouvez résoudre l'équation différentielle via le facteur d'intégration, (IF), méthode * ou la transformation de Laplace, entre autres. L'analyse ci-dessous utilise leIF méthode.

Voir modifier, ci-dessous, pour une explication de la méthode du facteur d'intégration .

Étant donné le circuit que vous décrivez, l'équation de boucle est:

vi=vR+vC

vi=iR+1Cidt

Différencier:

dvidt=Rdidt+iC

Réorganisation:

didt+iRC=1Rdvidt

En notant que τ=RC:

didt+iτ=1Rdvidt

Dans votre cas particulier, vi est une rampe, donc: vi=Kt, where K is the slope of the ramp.

Hence dvidt=K, and the equation to be solved by the IF method is:

didt+iτ=KR

The IF is:

IF=e1τdt=etτ

Therefore:

ietτ=KRetτdt+A

ietτ=KCetτ+A

i=KC+Aetτ

Assuming initial conditions are zero, A=KC, hence:

i=KC(1etτ)

and

vc=K(tτ+τetτ)

......................................................................................................................................................

Edit: Solving 1st order ordinary differential equations (ODE) by the Integrating Factor (IF) method:

For the ODE:

dydt+Py=Q, where P and Q are functions of t (which may be constants), we follow the steps:

  1. Determine the integrating factor: IF=ePdt

  2. The general solution is then found by solving: y.IF=Q.IFdt+A, where A is an arbitrary constant.

  3. Determine A from the initial condition or a boundary condition, if known.

For example, the ODE: dydt+2y=3, with y(0)=5

Solution: we identify P=2,Q=3

Therefore

IF=e2dt=e2t

Hence

ye2t=3e2tdt+A

ye2t=32e2t+A

Dividing through by e2t

y=1.5+Ae2t

Applying the initial condition:

y(0)=5=1.5+A; hence A=3.5

Giving: y=1.5+3.5e2t


3
(+1) But you should explain your abbreviations a little more: what is the IF method for solving a differential equation? I don't know that acronym, and googling it directly doesn't show a direct link. By seeing your calculations I can only guess you mean "Integrating Factor", but I don't think that abbreviation is widespread, so you should link to a source to make the answer more self-contained (If the OP doesn't know the abbreviation or the technique he could well be left wondering why you are doing what you do).
Lorenzo Donati -- Codidact.org

@LorenzoDonati, Thank you for your comments. I've added an edit on the integrating factor method.
Chu

2

May as well add another approach based upon Chu's recommendation:

The standard form for a first order linear differential equation is:

dydt+Pxy=Qx

If you can set things up like that, then your integrating factor (which is a nifty way to solve these) is:

μ=ePxdx

Then then the solution is:

y=1μμQxdx

Suppose the following circuit:

schematic

simulate this circuit – Schematic created using CircuitLab

Then from nodal, you get:

V(t)R+dV(t)dtC=Vs(t)RdV(t)dt+1RCV(t)=Vs(t)RC

Which is in standard form, now.

So, Pt=1RC and Qt=1RCVs(t). Thus, the integrating factor is: μ=etRC and:

V(t)=etRCetRC1RCVs(t)dt=1RCetRCVs(t)etRCdt

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple Vs(t). (Don't forget your constant of integration.)


I think you should be more consistant in using subscripts or brackets, e.g. Vt or V(t)
Huisman

@Huisman I agree. I'll make the change.
jonk

0

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.

En utilisant notre site, vous reconnaissez avoir lu et compris notre politique liée aux cookies et notre politique de confidentialité.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.