Le livre est-il faux au sujet du critère d'échantillonnage de Nyquist?

La déclaration suivante d'un livre est-elle fausse?

Je pensais qu'un échantillonnage avec deux fois la composante de fréquence la plus élevée du signal serait suffisant pour récupérer complètement le signal. Mais au-dessus, il est dit que l'échantillonnage crée deux fois une vague en dents de scie. Le livre est-il faux?

Je pensais qu'un échantillonnage avec deux fois la composante de fréquence la plus élevée du signal serait suffisant pour récupérer complètement le signal. Mais au-dessus, il est dit que l'échantillonnage crée deux fois une vague en dents de scie. Le livre est-il faux?

Le livre est faux, mais pas pour la raison que vous pensez. Si vous plissez les yeux sur les points qui indiquent des échantillons, c'est un échantillonnage à deux fois la fréquence indiquée.

Donc, tout d'abord, vous devez dessiner quelques signaux et les échantillonner vous-même (ou utiliser un package mathématique, si vous n'êtes pas à la hauteur du crayon et du papier).

Deuxièmement, le théorème de Nyquist dit qu'il est théoriquement possible de reconstruire un signal si vous savez déjà que le spectre du contenu du signal est strictement inférieur à la moitié de la fréquence d'échantillonnage.

Vous reconstruisez le signal en le filtrant passe-bas. Avant le filtrage, le signal peut être déformé, vous devez donc savoir ce que vous regardez pour voir que le résultat peut sembler correct. De plus, plus le spectre de votre contenu de signal est proche de la limite de Nyquist, plus la coupure doit être nette dans vos filtres anti-alias et de reconstruction. C'est bien en théorie, mais en pratique, la réponse d'un filtre dans le domaine temporel s'allonge plus ou moins proportionnellement à la façon dont il passe de sa bande passante à sa bande d'arrêt. Donc, en général, si vous le pouvez, vous échantillonnez bien au-dessus de Nyquist.

Voici une image qui correspond à ce que votre livre aurait dû dire.

Cas A: un échantillon par cycle (échantillons mis en évidence)

Cas B: deux échantillons par cycle, atterrissant sur les intersections - notez que c'est la même sortie que l'un échantillon par cas de cycle, mais uniquement parce que j'ai échantillonné le premier aux intersections.

Cas C: Encore une fois, deux échantillons par cycle, mais cette fois aux extrêmes. Si vous échantillonnez à exactement deux fois la fréquence de la composante du signal, vous ne pouvez pas reconstruire. En théorie, vous pourriez échantillonner oh-si-légèrement plus bas, mais vous auriez besoin d'un filtre avec une réponse impulsionnelle qui couvre suffisamment le résultat pour que vous puissiez reconstruire.

Cas D: échantillonnage à 4x la fréquence du signal. Si vous connectez les points, vous obtenez une onde triangulaire, mais ce n'est pas correct de le faire - dans le temps échantillonné, les échantillons n'existent que "aux points". Notez que si vous passez cela à travers un filtre de reconstruction décent, vous obtiendrez une onde sinusoïdale et si vous changez la phase de votre échantillonnage, la sortie sera décalée également en phase, mais son amplitude ne changera pas.

L'image B est extrêmement fausse. Il contient des coins très nets dans le signal de sortie. Des coins très nets correspondent à des fréquences très élevées, beaucoup plus élevées que la fréquence d'échantillonnage.

Afin de respecter les théorèmes de l'échantillon de Nyquist, vous devez filtrer passe-bas le signal reconstruit. Après le filtrage passe-bas, le signal B ressemblerait au signal d'entrée, pas à un triangle (car tous les coins aigus ne peuvent pas passer le filtre passe-bas).

Pour être exact, vous devez passer à la fois le signal d'entrée et le signal de sortie. Le signal d'entrée doit être filtré passe-bas jusqu'à la moitié de la fréquence d'échantillonnage afin de ne pas "plier" les fréquences plus élevées.

Malheureusement, il s'agit d'une fausse représentation courante du fonctionnement de l'échantillonnage. Une description plus correcte utilisera la fonction sinc pour la reconstruction (je recommande une recherche pour la fonction sinc).

Dans les applications du monde réel, il est impossible d'avoir un filtre passe-bas "parfait" (passant toutes les fréquences ci-dessous et bloquant tout au-dessus). Cela signifie que vous devez normalement échantillonner avec une fréquence au moins 2,2 fois la fréquence maximale que vous souhaitez reproduire (exemple: qualité CD échantillonnée à 44,1 kHz afin de permettre une fréquence maximale de 20 kHz). Même cette différence rendrait difficile la création de filtres analogiques - la plupart des applications du monde réel «suréchantillonnent», tout comme le filtre passe-bas en partie dans la zone numérique.

Le théorème d'échantillonnage indique que le signal peut être parfaitement reconstruit si la fréquence d'échantillonnage est strictement supérieure au contenu de fréquence le plus élevé du signal. Mais cette reconstruction est basée sur l'insertion d'impulsions sinc (infinies) à chaque échantillon. D'un point de vue théorique, c'est un résultat très important, mais en pratique impossible à atteindre exactement. Ce qui est décrit dans la page du livre est une méthode de reconstruction basée sur le tracé de lignes droites entre les échantillons, ce qui est complètement différent. Donc, je dirais que le livre est correct, mais il n'a rien à voir avec le théorème d'échantillonnage.

Un très bel article de synthèse est Unser: Sampling - 50 ans après Shannon . Votre problème vient du fait que les signaux sinusoïdaux purs et infinis ne sont pas couverts par le théorème d'échantillonnage de Shannon. Le théorème applicable aux signaux périodiques est le théorème d'échantillonnage de Nyquist antérieur.

Le théorème d'échantillonnage de Shannon s'applique aux fonctions qui peuvent être représentées comme

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

où X est une fonction intégrable au carré. Ensuite, ce signal peut être représenté exactement à partir d'échantillons discrets comme

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Une fonction sinus pure n'est pas contenue dans cette classe, car sa transformée de Fourier est composée de distributions Dirac-delta.

Le théorème d'échantillonnage de Nyquist antérieur déclare (ou réinterprète une idée antérieure) que si le signal est périodique avec la période T et la fréquence la plus élevée W = N / T , alors c'est un polynôme trigonométrique

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

avec 2N + 1 (non triviaux) coefficients et ces coefficients peuvent être reconstruits (par algèbre linéaire) à partir de 2N + 1 échantillons dans la période.

Le cas d'une fonction sinus pure relève de cette classe. Il promet une reconstruction parfaite si des échantillons 2N + 1 sur une période NT sont prélevés.

Ce qui a été partagé dans le livre ne dit rien sur le "critère d'échantillonnage de Nyquist" - il s'agit seulement d'échantillonner ponctuellement une onde sinusoïdale avec un ADC hypothétique, puis de construire (implicitement) un signal de sortie en utilisant un (non mentionné) DAC simple qui effectue une interpolation linéaire entre les valeurs d'échantillon.

Dans ce contexte, l'énoncé de thèse de «FIGURE 6.10» est généralement correct et bien démontré.

À mesure que la fréquence d'échantillonnage de l'ADC augmente, la fidélité du signal numérisé s'améliore.

Si vous vouliez parler de la fidélité d' une reconstruction idéalisée , c'est tout autre chose. Toute discussion sur le taux de Nyquist implique l'utilisation d'une interpolation sinc qui, encore une fois, n'est pas mentionnée dans la figure illustrée.

Le vrai défaut de cette figure est l'idée qu'un échantillon ponctuel est un concept significatif en ingénierie. En pratique, un ADC sera connecté à un composant capteur qui fonctionne en accumulant un signal d'entrée réel sur une certaine période de temps.

C'est drôle, cependant, ce chiffre est apparemment erroné (décalé d'un facteur deux) au sujet des fréquences d'échantillonnage spécifiques montrées dans les diagrammes - bien que la "Sortie" montrée ne soit affectée que par cela dans le cas 'C'.

En utilisant la déclaration citée ci-dessus, j'ai trouvé un diagramme étrangement similaire dans "Une approche pratique de la surveillance peropératoire neurophysiologique" dans une discussion sur le traitement des formes d'onde EEG. Pour ce que ça vaut, cette discussion comprend les éléments suivants:

Le théorème décrivant la fréquence d'échantillonnage minimale requise pour qu'un ADC représente fidèlement un signal analogique est connu sous le nom de théorème de Nyquist. Il stipule que la fréquence d'échantillonnage d'un CAN doit être supérieure au double de celle de la composante de fréquence la plus rapide d'une forme d'onde.