J'ai parcouru le livre Ogata Modern Control Engineering et travaillé à travers plusieurs exercices pour améliorer ma compréhension des principes de base du contrôle. Je suis tombé sur l'exemple suivant que j'ai du mal à résoudre.

Je dois trouver la fonction de transfert qui modélise ce gabarit de vibration. Les questions sont les suivantes:

Dans cet exemple, vous allez analyser un banc d'essai de vibration (Fig. 1). Ce système est constitué d'une table de masse M et d'une bobine dont la masse est m. Un aimant permanent fixé rigidement au sol fournit un champ magnétique constant. Le mouvement de la bobine, 𝑦, à travers le champ magnétique induit une tension dans la bobine qui est proportionnelle à sa vitesse, 𝑦̇, comme dans Eq. 1. 𝑒 = 𝛼𝑦̇ [éq.1]

Le passage du courant à travers la bobine lui fait subir une force magnétique proportionnelle au courant comme dans l'équation. 2. 𝐹 = 𝛽𝑖 [éq.2]

Question: Obtenez une fonction de transfert paramétrique avec la sortie 𝑥 vers l'entrée 𝑉.

Certaines questions auxquelles j'ai du mal à répondre mais qui affectent l'ensemble du TF sont:

Si K2 et B2 sont compressés d'une distance Z, (en se déplaçant vers le haut en
raison de l'interaction de la bobine avec le champ magnétique), cela signifie-t-il que k1 et b1 sont étendus de la même distance Z?
Si m(la bobine) se déplace de 2 cm vers le haut, M(la table) se déplace-t-elle également de 2 cm vers le haut?

Ce que je dois faire:

Trouvez deux diagrammes de corps libres séparés, un pour la masse M de la table et un pour la masse m de la bobine.
Esquissez un schéma de circuit, y compris la FEM arrière.
Transformez-vous en domaine s.
Résolvez simultanément.

Ce que j'ai fait jusqu'à présent:

Dessinez pour séparer les diagrammes de corps libres et extraire les équations.
Dessinez le schéma de circuit et extrayez l'équation.
Convertissez en s-domaine.

En utilisant la fonction MATLAB, solvej'ai réussi à obtenir 2 fonctions de transfert de 5e ordre différentes (une pour chaque méthode que je propose ci-dessous), mais je ne sais pas laquelle est correcte et pourquoi.

Système global :

Ceci est une représentation schématique de la façon dont je pense que le gabarit d'essai de vibration peut être modélisé, à l'exclusion de la partie électrique.

Diagramme de corps libre 1 - Tableau - Convention ascendante

Ressorts k1et k2et des amortisseurs b1et b2sont modélisés séparément . Puisqu'ils ne peuvent pas être additionnés et considérés comme un, leur compression et leur extension sont distinctes.

La force ascendante vient de k2et b2qui est attachée à la bobine. Ceux-ci connaissent un mouvement ascendant.

Équation dans le domaine s:

Ms^2X + b1sX + k1X = b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Diagramme de corps libre 2 - Bobine - Convention ascendante

La bobine subit une force vers le haut, mais le ressort et l'amortisseur la retiennent, agissant ainsi dans la direction opposée.

Équation dans le domaine s:

Fem = Ms^2Y + b2s(X-Y) + k2(X-Y)

Les deux méthodes différentes sont indiquées ci-dessus pour le FBD du tableau conduisent à différentes équations dans le domaine s et différentes fonctions de transfert.

Quel est le bon diagramme de corps libre pour la table et la bobine?

— rrz0
source

Jolie question, mais merci de poster une photo où les détails sont clairs sans nous forcer à cliquer dessus pour l'agrandir. Par exemple, ces signes négatifs sont à peine perceptibles. De plus, l'équation en bas à gauche a été partiellement recadrée. Il y a beaucoup d'espace libre à utiliser sur votre feuille pour être utilisé pour agrandir les choses. Il existe de nombreux programmes d'édition d'images gratuits sur Internet (par exemple, IrfanView ou FastSstone ImageViewer), vous pouvez donc prendre également plusieurs photos de vos feuilles et couper / recadrer les pièces dont vous avez besoin pour publier de belles photos.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

@LorenzoDonati, merci pour la suggestion, modifiera immédiatement. En ce qui concerne l'équation en bas à gauche, cela n'a pas d'intérêt puisque ma préoccupation est le diagramme du corps libre. Si c'est correct, alors l'équation sera correcte. Cependant, je vais essayer de modifier en conséquence. Merci pour vos commentaires.

— rrz0

Essayez de ne pas faire d'hypothèses sur ce que vous avez fait de mal. La publication d'un ensemble d'équations bien dessinées suivant votre ligne de pensée montrera vos efforts (et améliorera ainsi votre question - en lui donnant plus de chances d'y répondre) et peut également signaler d'éventuelles erreurs. Toute information pertinente concernant votre problème pourrait être utile pour le répondeur potentiel.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

BTW, si vous êtes à l'aise avec la syntaxe LaTeX, l'éditeur de questions peut comprendre la "notation en dollars" des formules LaTeX (voir l'aide en ligne).

— Lorenzo Donati - Codidact.org

Merci @LorenzoDonati, j'essaie de présenter la question de manière plus structurée et lisible.

— rrz0

Intro

M et m n'ont qu'un seul degré de liberté; les deux ne peuvent se déplacer que verticalement. La force magnétique agit directement sur l'aimant m, pas sur la masse M.

$90^o$ $b_1$ $b_2$

Table vibratoire électromagnétiquement excitée

Maintenant, il est clair qu'il s'agit d'une connexion en série de masses avec des éléments dynamiques entre elles, nous commençons donc à écrire les équations de mouvement de droite à gauche, en commençant par l'équation électrique de m en premier, qui contiendra V, y et F.
Après cela, nous écrirons l'équation de mouvement pour m et pour M.
Comme M n'est pas affecté par une force magnétique, cette dernière équation nous donnera y en fonction de x, qui sera utilisé dans la première équation pour relier x à V.

Électrique

e = α \dot{y}, F = β je, V - e = R je + L \dot{je}

$e=\alpha \dot y \, , \, F=\beta i \, , \, V- e=Ri+L \dot i$

V - e = V - α \dot{y} = R je + L \dot{je} = \frac{R}{β} F + \frac{L}{β} \dot{F}

$V-e = V - \alpha \dot y = R i + L \dot i = \frac{R}{\beta}F+\frac{L}{\beta}\dot F$

$y$ $F$ $V$

L'aimant

F + m \ddot{y} + b_{2} (\dot{y} - \dot{X}) + k_{2} (y - X) = 0

$F+m \ddot y + b_2 \left(\dot y - \dot x \right) +k_2 \left(y-x \right) =0$

V - α \dot{y} = V (s) - α s y = (R + L s) je = (R + L s) F / β

$V-\alpha \dot y = V(s)-\alpha s y = \left(R+Ls\right) i = \left(R+Ls\right)F/\beta$

F = \frac{β}{R + L s} (V (s) - α s y)

$F=\frac{\beta}{R+Ls}\left(V(s)-\alpha s y\right)$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m \ddot{y} + k_{2} (y - X) + b_{2} (\dot{y} - \dot{X}) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+m\ddot y +k_2\left(y-x\right) + b_2\left(\dot y-\dot x\right)=0$

\frac{β V (s)}{R + L s} - \frac{α β}{R + L s} s y + m s^{2} y + k_{2} (y - X) + b_{2} s (y - X) = 0

$\frac{\beta V(s)}{R+Ls}-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}sy+ms^2 y +k_2\left(y-x\right) + b_2s\left( y- x\right)= 0$

m s^{2} y + (b_{2} - \frac{α β}{R + L s}) s y + k_{2} y - b_{2} s X - k_{2} X = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$ms^2y+\left(b_2-\frac{\alpha \beta }{R+Ls}\right)sy +k_2y -b_2sx - k_2x =-\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

x

$x$

y

$y$

(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) y - (b_{2} s + k_{2}) X = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right)y-\left(b_2s+k_2\right)x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

La table mobile

M \ddot{X} + k_{1} X + b_{1} \dot{X} + k_{2} (X - y) + b_{2} (\dot{X} - \dot{y}) = 0

$M\ddot x +k_1x+b_1\dot x +k_2\left(x-y\right)+b_2\left(\dot x-\dot y\right)=0$

M s^{2} X + k_{1} X + b_{1} s X + k_{2} (X - y) + b_{2} s (X - y) = 0

$Ms^2 x +k_1x+b_1s x +k_2\left(x-y\right)+b_2s\left( x- y\right)=0$

- b_{2} s y - k_{2} y + M s^{2} X + (b_{1} + b_{2}) s X + (k_{1} + k_{2}) X = 0

$-b_2sy -k_2y +Ms^2x +\left(b_1+b_2\right)sx +\left(k_1+k_2\right)x =0$

x

$x$

y

$y$

- (b_{2} s + k_{2}) y + {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}} X = 0

$- \left( b_2s+k_2 \right) y + \lbrace Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2 \rbrace x = 0$

y = \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} X

$y = \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2}x$

Ensemble

$y=f(x)$ $x$ $y$ $V$

[(m s^{2} + b_{2} s - \frac{α β s}{R + L s} + k_{2}) \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + k_{1} + k_{2}}{b_{2} s + k_{2}} - (b_{2} s + k_{2})] X = - \frac{β V (s)}{R + L s}

$\left[ \left(ms^2+b_2s-\frac{\alpha \beta s}{R+Ls}+k_2\right) \frac{Ms^2 + \left( b_1+b_2 \right)s +k_1+k_2}{b_2s+k_2} - \left( b_2s+k_2 \right) \right] x = -\frac{\beta V(s)}{R+Ls}$

$R+Ls$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} \frac{M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})}{b_{2} s + k_{2}} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})] X = - β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \frac{Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)}{b_2s+k_2}-(R+Ls)(b_2s+k_2)\right]x = -\beta V(s)$

$b_2s+k_2$

[{(R + L s) (m s^{2} + b s + k_{2}) - α β s} {M s^{2} + (b_{1} + b_{2}) s + (k_{1} + k_{2})} - (R + L s) (b_{2} s + k_{2})^{2}] X = - (b_{2} s + k_{2}) β V (s)

$\left[ \lbrace (R+Ls) \left( ms^2+bs+k_2 \right) - \alpha\beta s \rbrace \lbrace Ms^2+(b_1+b_2)s+(k_1+k_2)\rbrace - (R+Ls)(b_2s+k_2)^2 \right]x = - (b_2s+k_2) \beta V(s)$

$x(s)/V(s)$

— joe electro
source

Les commentaires ne sont pas pour une discussion approfondie; cette conversation a été déplacée vers le chat .

— Dave Tweed

Recherche de la fonction de transfert du système d'amortisseur de masse à ressort

Système global :

Diagramme de corps libre 1 - Tableau - Convention ascendante

Diagramme de corps libre 2 - Bobine - Convention ascendante

Intro

Électrique

L'aimant

La table mobile

Ensemble