Pourquoi la constante de temps est-elle de 63,2% et non de 50% ou 70%?

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J'étudie les circuits RC et RL. Pourquoi la constante de temps est-elle égale à 63,2% de la tension de sortie? Pourquoi est-il défini comme 63% et non comme une autre valeur?

Un circuit commence-t-il à fonctionner à 63% de la tension de sortie? Pourquoi pas à 50%?

— Bala Subramanian
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1-e ^ -1 = 0,6321 ...

— Andrew Morton

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Il coïncide avec 1 / bande passante et c'est la valeur de temps dans le premier ordre de retard ou . Dans la désintégration radioactive, ils utilisent 50% («demi-vie»).

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Chu

1

@AndrewMorton: Je ne suis pas tout à fait sûr de ce que cela dit de moi que je suppose que ce serait la réponse juste à partir du titre.

— Ilmari Karonen

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@code_monk: Aussi intéressant que ?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Nominal Animal

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Juste un petit coup d'œil: la constante de temps n'est pas définie à 63%. Il est défini comme étant l'inverse du coefficient de l'exposant d'une fonction exponentielle (voir les excellentes réponses dans ce fil). Il se juste en dehors du fait que la valeur de la grandeur après un laps de temps égal à la constante de temps est d' environ (avec une précision de deux chiffres) 63% de la valeur initiale.

— Lorenzo Donati soutient Monica le

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D'autres réponses n'ont pas encore identifié ce qui rend e spécial: définir la constante de temps comme le temps nécessaire pour que quelque chose baisse d'un facteur e signifie qu'à tout moment, le taux de changement sera tel que - si cela le taux a été maintenu - le temps nécessaire pour se désintégrer serait une constante de temps.

Par exemple, si l'on a un plafond 1uF et une résistance 1M, la constante de temps sera d'une seconde. Si le condensateur est chargé à 10 volts, la tension chutera à un taux de 10 volts / seconde. S'il est chargé à 5 volts, la tension chutera à un taux de 5 volts / seconde. Le fait que le taux de variation diminue à mesure que la tension le fait signifie que la tension ne diminuera en fait à rien en une seconde, mais le taux de diminution à tout moment sera la tension actuelle divisée par la constante de temps.

Si la constante de temps était définie comme toute autre unité (par exemple, la demi-vie), alors le taux de décroissance ne correspondrait plus aussi bien à la constante de temps.

— supercat
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3

C'est peut-être la meilleure réponse, car elle répond à la question « Pourquoi? » De manière tangible, au lieu de montrer « comment » la calculer.

— Bort

Génial, je ne peux pas croire que je n'ai jamais appris ça! (BTW, un graphique rendrait cette réponse encore plus impressionnante).

— Rétablir Monica le

1

C'est un excellent aperçu intuitif. +1

— Spehro Pefhany

1

"le taux de diminution à tout moment sera la tension actuelle" Je suppose que si "courant" dans ce contexte est ambigu, les deux sens fonctionnent.

— Accumulation

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@supercat - J'ai ajouté un graphique de votre exemple. N'hésitez pas à suggérer des modifications.

— Rétablir Monica le

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Il est intégré aux mathématiques de la décroissance exponentielle associée aux systèmes de premier ordre. Si la réponse commence à l'unité à t = 0, alors après une "unité de temps", la réponse est . Lorsque vous regardez un temps de montée, vous soustrayez cela de l'unité, ce qui donne 0,63212 ou 63,2%. $e^{-1} = 0.36788$

L '"unité de temps" est appelée "constante de temps" du système et est généralement notée τ (tau). L'expression complète de la réponse du système dans le temps (t) est

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

La constante de temps est donc une quantité utile à connaître. Si vous souhaitez mesurer directement la constante de temps, vous mesurez le temps nécessaire pour atteindre 63,2% de sa valeur finale.

En électronique, il s'avère que la constante de temps (en secondes) est égale à R × C dans un circuit RC ou L / R dans un circuit RL, lorsque vous utilisez des ohms, des farads et des henries comme unités pour les valeurs des composants. Cela signifie que si vous connaissez la constante de temps, vous pouvez dériver l'une des valeurs des composants si vous connaissez l'autre.

— Dave Tweed
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1

Pour une décroissance ou une augmentation exponentielle, nous devons utiliser la réponse échelonnée pour réduire la complexité. Pour que e − 1 soit pris en compte, ai-je raison?

— Bala Subramanian le

@BalaSubramanian: oui, c'est vrai.

— Dave Tweed

Mais j'ai un doute, par exemple dans la conception d'un circuit RC pour minuterie ou compteur. Il se décharge et se charge à une période donnée. Est la période de temps est identique à la constante de temps. Le circuit intégré ou l'appareil requis cesse-t-il de fonctionner à 63% de la tension?

— Bala Subramanian le

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- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

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La désintégration d'un circuit parallèle RC avec condensateur chargé à Vo

v (t) = , où est la constante de temps R C. $Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

Donc v ( ) / Vo est d'environ 0,63212055882855767840447622983854 $\tau$

En d'autres termes, la constante de temps est définie par le produit RC (ou le rapport L / R), et la tension apparemment arbitraire est le résultat de cette définition et de la façon dont la décroissance ou la charge exponentielle se produit.

La désintégration exponentielle est commune à divers processus physiques tels que la désintégration radioactive, certains types de refroidissement, etc. et peut être décrite par une équation différentielle ordinaire (ODE) du premier ordre.

Supposons que vous souhaitiez connaître l' heure à laquelle la tension est de 0,5 de la tension initiale (ou de la tension finale si vous chargez à partir de 0). C'est (d'après ce qui précède)

t = - ou environ 0,693RC $\ln(0.5)\tau$

Quoi qu'il en soit, certains nombres irrationnels apparaissent et traiter RC = est la manière "naturelle". $\tau$

— Spehro Pefhany
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C'est une approximation très approximative.

— Arsenal

1

@Arsenal Je pourrais utiliser MATLAB et le mettre à quelques milliers de décimales si vous le souhaitez.

— Spehro Pefhany

2

@Arsenal, je suppose que 22/7 n'est pas assez bon pour vous non plus? : D

— Wossname

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22/7 est une terrible approximation de e. 19/7 est beaucoup mieux.

— alephzero

2

@SpehroPefhany (écrit à cette approximation à laquelle vous avez lié) Je suis toujours étonné de voir à quel point les maths aiment passer leur temps (enfin, je suppose que les mots croisés sont trop faciles pour eux! :-)

— Lorenzo Donati soutient Monica le

3

Pour compléter les autres excellentes réponses de Dave Tweed, supercat et Spehro Phefany, je vais ajouter mes 2 cents.

D'abord un peu de tergiversations, comme je l'ai écrit dans un commentaire, la constante de temps n'est pas définie à 63%. Formellement, il est défini comme l'inverse du coefficient de l'exposant d'une fonction exponentielle. Autrement dit, si Q est la quantité pertinente (tension, courant, puissance, peu importe), et Q décroît avec le temps comme:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

Ce que les autres réponses n'ont que légèrement touché, c'est pourquoi ce choix a été fait. La réponse est simple : la constante de temps permet de comparer facilement la vitesse d'évolution de processus similaires. En électronique, la constante de temps peut souvent être interprétée comme la "vitesse de réaction" d'un circuit. Si vous connaissez les constantes de temps de deux circuits, il est facile de comparer leur "vitesse relative" en comparant ces constantes.

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

En d'autres termes, la constante de temps est un moyen facile et compréhensible de transmettre l'échelle de temps sur laquelle un phénomène se produit.

— Lorenzo Donati soutient Monica
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-1

$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— Matthijs Huisman
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