Quel est le taux «Nyquist» pour échantillonner la dérivée d'un signal?

Contexte: j'échantillonne le courant à travers un condensateur. Le signal d'intérêt est la tension aux bornes du condensateur. Je vais intégrer numériquement la mesure de courant pour obtenir la tension.

Question: Étant donné que la tension aux bornes du condensateur est limitée en bande passante et que j'échantillonne la dérivée de cette tension, quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale requise pour reconstruire parfaitement le signal de tension à partir des échantillons actuels?

S'il n'y a pas de réponse en conserve à cette question, tout ce qui pourrait m'orienter dans la bonne direction serait utile. Merci d'avance pour toute aide!!

dsp sampling data-acquisition

— VIANDERN
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Vous souhaitez "reconstruire parfaitement" le signal d'origine à partir des échantillons? Que veux-tu dire par là?

— Elliot Alderson

Le taux de Nyquist est le double de la fréquence la plus élevée du signal d'origine.

— Peter Karlsen

@Dweerberkitty comme Dave l'a mentionné, le signal n'est qu'un signal :). Plus sérieusement, si vous utilisez des systèmes de mesure réels, il pourrait y avoir des retards qui auront un impact sur votre fonctionnement dérivé. Donc, si vous en tenez compte (avec un peu de chance, si le système est simple), vous pourriez dériver analytiquement la période d'échantillonnage nécessaire.

— Raaja

"La tension aux bornes du condensateur est limitée en largeur de bande". Pourquoi?

— Rodrigo de Azevedo

@RodrigodeAzevedo, ce n'est qu'une hypothèse pour simplifier l'énoncé du problème. En réalité, la bande passante n'est pas limitée, mais la plage de fréquences d'intérêt est bien définie dans ce problème. Merci!

— VIANDERN

Réponses:

Prendre une dérivée (ou une intégrale) est une opération linéaire - elle ne crée pas de fréquences qui n'étaient pas dans le signal d'origine (ou n'en supprime aucune), elle modifie simplement leurs niveaux relatifs.

Le taux de Nyquist pour la dérivée est donc le même que celui du signal d'origine.

— Dave Tweed
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Vrai dans un monde idéal dans lequel il y a des signaux parfaitement limités en bande, des filtres passe-bas idéaux et aucun bruit thermique du tout.

— Rodrigo de Azevedo

L'ensemble du solde SNR change. Un petit composant à haute fréquence, qui pourrait alias, mais ne fait pas grand-chose en raison de sa taille, peut devenir un monstre important, sûr-à-cause-gros-basse-fréquence-sur-échantillonnage.

— Scott Seidman

-1

Prendre la dérivée multiplie la transformée par s, ce qui fait effectivement tourner le graphique de magnitude dans le sens antihoraire. Ainsi, il pourrait bien y avoir des composantes de fréquence plus élevée dans le dérivé. Une manière plus succincte de le dire est que la dérivation amplifie le contenu haute fréquence.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ]))

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ]))

Le dérivé dans ce cas a clairement des composantes de fréquence plus élevées. Peut-être plus correctement, il a des composants haute fréquence beaucoup plus importants que le non-dérivé. On pourrait choisir d'échantillonner le premier signal à 200 rads / s avec une certaine confiance, car l'énergie est très petite au taux de nyquist, mais le repliement serait substantiel si vous échantillonniez la dérivée au même taux.

Ainsi, cela dépend de la nature du signal. La dérivée d'une sinusoïde sera une sinusoïde de la même fréquence, mais la dérivée du bruit à bande limitée aura des composantes de fréquence plus élevées que le bruit.

EDIT: En réponse au vote négatif, je vais marteler cette maison avec un exemple concret. Permettez-moi de prendre une onde sinusoïdale et d'y ajouter du bruit normal aléatoire (un dixième de l'amplitude de l'onde sinusoïdale)

Le fft de ce signal est:

Maintenant, permettez-moi de prendre la dérivée du signal:

et le fft du dérivé

Le sous-échantillonnage alias, bien sûr, le signal ou le dérivé. Les effets du sous-échantillonnage seront modestes pour le signal, et le résultat du sous-échantillonnage de la dérivée sera absolument inutile.

— Scott Seidman
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Je ne sais pas ce que vous pensez que vous complotez ici, mais ce ne sont pas des signaux à bande limitée.

— Dave Tweed

La transformée de Fourier d'un signal et la transformée de Fourier de son dérivé.

— Scott Seidman

De quelle langue s'agit-il de toute façon?

— Dave Tweed

Ah. Dans ce cas, tf()ne représente pas un signal, il représente une fonction de transfert. Certainement pas limité en bande.

— Dave Tweed

Il vous manque toujours le point que le signal est limité en bande. Vous ajoutez du bruit non limité en bande au signal pour faire valoir votre point de vue, ce qui est en dehors de la portée de la question. Oui, c'est une considération pratique, mais la question (telle que je la vois) est théorique.

— Dave Tweed

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Tu ne peux pas.

L'intégration ne vous informera que de l'évolution de la tension pendant le temps d'échantillonnage.

Cependant, le condensateur démarre toujours avec une certaine charge, il y aura donc une tension initiale. Votre calcul ne peut pas connaître cette tension, il ne peut donc pas connaître la tension réelle aux bornes du condensateur pendant votre temps de mesure. Cela devrait être familier dans les cours de mathématiques - vous intégrez toujours entre deux points.

Vous avez également un problème qui, bien que vos échantillons de mesure de courant soient limités à Nyquist, le courant réel à travers le condensateur peut ne pas l'être. À moins que vous ne puissiez garantir que le courant traversant le condensateur a un filtre passe-bas dur quelque part en dessous de la limite de Nyquist, vous ne pourrez jamais mesurer le courant avec suffisamment de précision pour reproduire la tension. Je dois être clair que cela est mathématiquement impossible, car cela nécessiterait un taux d'échantillonnage de l'infini.

Mais si vous connaissez la tension de démarrage et si le courant réel traversant le condensateur est convenablement filtré passe-bas, alors DaveTweed a raison de dire que la limite de Nyquist pour l'intégrale est la même que pour les données échantillonnées.

— Graham
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Je ne vois pas pourquoi vous devez faire une différence entre le courant réel à travers le condensateur et la valeur mesurée à bande limitée. Quelle est la magie de cette situation que la linéarité bien connue des dérivés, des filtres et de l'intégration ne s'applique plus?

— pipe

@pipe En un mot, l'échantillonnage. Supposons que nous échantillonnions à 1 kHz. Supposons maintenant que nous ayons un pic de courant de 0,5 ms. La version échantillonnée ne verra jamais le pic, mais la tension réelle du condensateur le sera certainement. Ensuite, vous avez les erreurs résiduelles entre chaque forme d'intégration numérique et la valeur réelle. Et je n'ai même pas commencé sur quelque chose lié à la résolution, qui est encore une autre boîte de vers.

— Graham

Mais l'énergie dans cette impulsion se propagera en bandes que l'échantillonneur va voir. Par exemple: un train d'impulsions avec des impulsions très courtes équivaudra, après limitation de bande, à un niveau DC légèrement élevé. La zone de votre pouls sera toujours la même, et l'intégration de la version à bande limitée aboutit au même résultat.

— pipe