Décharge de puissance constante d'un condensateur non idéal

Mon employeur vend des convertisseurs de suralimentation pour supporter les entraînements de moteur lors d'une panne de courant. Ces convertisseurs boost sont alimentés par des batteries de condensateurs. Afin de dimensionner correctement ces bancs, nous devons prendre en compte leur tension, leur capacité et leur ESR, pour nous assurer qu'il y a suffisamment d'énergie disponible des condensateurs pour maintenir les variateurs pendant un temps et une puissance spécifiés . Pour le moment, nous faisons cela avec une méthode d'approximation, mais ce serait bien d'avoir une équation plus exacte.

Nous supposons que l'ESR, la capacité et la puissance de charge sont constants.

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Si j'ai raison, cela me donne une équation différentielle non linéaire, ce qui me place bien au-delà de ma zone de confort mathématique. Si je comprends bien, la résolution d'une nouvelle équation différentielle non linéaire constituerait une contribution importante au domaine des connaissances mathématiques. Compte tenu de cela, il est peu probable que je résolve cela par moi-même.

Quelqu'un connaît-il de bonnes approches pour résoudre V (t)? Est-ce que quelqu'un sait si cette équation a déjà été résolue? Suis-je peut-être mal comprendre le problème? Ou devrais-je le déplacer vers le Math Stack Exchange?

— Stephen Collings
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À quel point devez-vous être précis? La quantité d'énergie perdue par l'ESR variera de manière non linéaire avec la tension d'alimentation, mais on peut facilement calculer les limites supérieure et inférieure de la quantité d'énergie qui peut être récoltée à partir du capuchon lorsqu'elle passe d'une tension à une tension inférieure; plus la baisse en question est petite, plus les limites seront proches. Donc, si le plafond commence à 50 volts, on pourrait calculer les limites supérieure et inférieure de la quantité d'énergie qui serait récupérée lorsqu'elle passe de 50 à 40 volts. Si la différence entre les bornes supérieures et inférieures est trop grande, on pourrait calculer l'énergie ...

— supercat

... car il passe de 50 à 45 puis de 45 à 40. Si l'écart est toujours trop grand avec ces tailles de pas, subdivisez davantage. Si tous les paramètres étaient connus avec précision, il ne serait probablement pas nécessaire de trop diviser pour obtenir des limites supérieures et inférieures à environ 20% l'une de l'autre. Étant donné une certaine imprécision dans les paramètres, il ne serait probablement pas utile d'aller bien au-delà.

— supercat

Vraiment, je suppose que nous avons trois questions. Est-ce résoluble? Si c'est le cas, comment? Sinon, quelle est la prochaine meilleure approche? Nous recherchons une solution exacte à l'équation, mais s'il n'y en a pas, ce que vous décrivez pourrait être un bon plan de sauvegarde.

— Stephen Collings

Vous pouvez essayer de modéliser votre circuit comme un condensateur idéal, une résistance ESR et une impédance de charge tout en série. En résolvant les tensions nodales et le flux de courant (qui devraient tous être linéairement indépendants), vous pouvez trouver les pertes ESR par rapport à la consommation d'énergie de la charge. Le seul objectif serait d'estimer Z_L, bien que je pense que vous devriez pouvoir le comprendre en calculant en retour à partir de la puissance nominale et de la chute de tension acceptable que vous attendez de votre conception.

— helloworld922

@Remiel: Il est courant de modéliser des condensateurs du monde réel comme une combinaison de condensateurs, résistances et inductances idéaux, et un tel modèle sera plus proche de la réalité que celui qui s'attendait simplement à ce qu'un vrai plafond se comporte comme un idéal, mais le " cap idéal non idéal "n'est encore qu'une approximation. Dans le monde réel, l'ESR et la capacité peuvent varier avec la tension de façon étrange et non linéaire. Une équation qui décrit précisément le comportement d'un modèle peut ne pas être plus précise qu'une simulation en temps discret pour prédire le comportement réel d'un circuit réel.

— supercat

Les équations ont été résolues par d'autres ici . Sauf si j'ai raté un signe quelque part, cette formule donne le temps qu'il faut pour qu'un capuchon atteigne la tension interne V, à partir de la tension , avec un ESR et une capacité donnés, et une décharge de puissance fixe. $V_{0}$

t (V) = \frac{C}{4 P} (V_{0}^{2} - V^{2} + V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (\ln (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - \ln (V_{0} + \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

Notez que puisque V est la tension interne non chargée du capuchon, "derrière" l'ESR, pour trouver le temps qu'il faut au capuchon pour atteindre une tension aux bornes spécifique lorsqu'il est chargé , nous devons utiliser la substitution: où est la tension aux bornes minimale souhaitable.

V = V_{m i n} + \frac{P R_{C}}{V_{m i n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$

V_{m i n}

$V_{min}$

Ces calculs semblent bien correspondre à nos méthodes d'estimation numérique.

— Stephen Collings
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