Une onde triangulaire aurait-elle des composantes sinusoïdales finies ou infinies?

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Une discontinuité fait qu'un signal a des composants sinusoïdaux infinis, mais une onde triangulaire est continue, je prenais un cours dans lequel un instructeur a dit que puisque l'onde triangulaire est continue, elle peut être représentée par un nombre fini de composantes sinusoïdales et a également montré une addition finie de fréquences multiples de sinusoïdes qui ont donné la forme d'une onde triangulaire pure.

Le seul problème que j'ai à l'esprit est que la dérivée d'une onde triangulaire n'est pas continue car c'est une onde carrée et aurait donc besoin d'une somme infinie de sinusoïdes donc si l'on dérive les deux côtés de la formule de la série de Fourier d'une onde triangulaire , nous obtiendrions une onde carrée présentée comme une somme d'un nombre fini de sinusoïdes. Cela ne serait-il pas incorrect?

fourier

— Syed Mohammad Asjad
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L'onde triangulaire a une série de Fourier infinie. N'oubliez pas que les tuteurs sont faillibles.

— Autistic

Qu'a dit votre instructeur lorsque vous lui avez demandé?

— Solar Mike

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@Syed Mohammad Asjad: votre raisonnement avec le dérivé est correct. Vous avez peut-être une meilleure compréhension de la question que votre instructeur.

— Curd

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En effet, pour avoir une série de Fourier finie, la fonction et TOUTES ses dérivées doivent être continues. Toutes les dérivées d'une sinusoïde sont continues, et cela est également vrai pour toute somme finie de sinusoïdes.

— Dave Tweed

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Pas une réponse, mais: les séries de Fourier à coefficients finis sont très restrictives. La plupart des fonctions périodiques ont une série de Fourier infinie. Cependant, plus la fonction est fluide, plus la décroissance des coefficients à l'infini est rapide. Si une fonction est k fois différentiable avec une dérivée bornée, alors ses coefficients de Fourier (c_n) décroissent aussi vite que 1 / n ^ (k + 1), comme l'indique l'induction. Pour les fonctions analytiques (fonctions avec des séries de Taylor convergentes, c'est-à-dire encore plus lisses qu'infiniment différentiables), la décroissance est exponentielle. Le triangle a une série de Fourier qui est exactement 1 / n ^ 2.

— Alexandre C.

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une onde triangulaire est continue

Citation d' ici : -

L'onde triangulaire n'a pas de sauts discontinus, mais la pente change de façon discontinue deux fois par cycle

La variation discontinue de la pente signifie également une gamme infinie de composants sinusoïdaux.

Par exemple, si vous intégrez dans le temps une onde carrée, vous produisez une onde triangulaire mais, toutes les harmoniques de l'onde carrée d'origine sont toujours présentes après l'intégration temporelle: -

— Andy aka
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Avait pensé la même chose, la représentation graohical a beaucoup aidé, merci :)

— Syed Mohammad Asjad

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l'instructeur a dit que puisque l'onde triangulaire est continue, elle peut être représentée par un nombre fini de sinus

Soit vous n'avez pas bien compris, soit l'instructeur a mal parlé. Il ne suffit pas que le signal lui-même soit continu, mais toutes les dérivées doivent l'être également. S'il y a une discontinuité dans une dérivée, alors le signal répétitif aura une série infinie d'harmoniques.

Un triangle est continu, mais sa première dérivée est une onde carrée, qui n'est pas continue. Une onde triangulaire a donc une série infinie d'harmoniques.

— Olin Lathrop
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Nope n'a pas mal entendu, il n'a pas non plus mal parlé parce qu'il l'a dit deux fois et a également demandé à la classe plus tard ce qu'il avait dit et exactement ce que j'avais pensé :)

— Syed Mohammad Asjad

@SyedMohammadAsjad vous avez tous les deux raison. De google; misspeak: "s'exprimer d'une manière insuffisamment claire ou précise." Je pense que l'un de vous utilise "insuffisamment clair" et l'autre utilise "insuffisamment précis".

— uhoh

Bien que le libellé de ces réponses le suggère quelque peu, le fait que toutes les dérivées existent (et sont donc continues, par l'existence de la dérivée suivante), est encore loin d'être suffisant pour avoir une série de Fourier finie. La plupart des séries de Fourier pour les signaux périodiques, aussi lisses (classe $ \ mathcal C ^ \ infty $, ou même analytique) ont une infinité de composantes non nulles; il est difficile de trouver une description de ceux qui ne sont que des «sommes finies de sinus et cosinus». Tout ce que la douceur implique est un avec lequel les coefficients ont tendance à 0.

— Marc van Leeuwen

un filtre en brique peut rendre le nombre d'harmoniques fini et il semble toujours / \ / \ / \ / \ / \ / trinagulaire avec au moins 20, loin d'être infini

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

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Preuve mathématique:

Prenez une fonction composée de la somme pondérée d'une série finie de composantes sinus / cosinus.

Sa dérivée est également une somme pondérée d'une série finie de composants sinus / cosinus. Idem si vous dérivez un certain nombre de fois.

Puisque le sinus et le cosinus sont continus, la fonction et toutes ses dérivées sont continues.

Ainsi, une fonction ayant une discontinuité dans l'un de ses dérivés ne peut pas être construite avec une série finie de composants sinus / cosinus.

— peufeu
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Exactement ce que j'avais pensé, merci :)

— Syed Mohammad Asjad

Doit être «sinus et cosinus sont lisses» non seulement continus - mais l'essentiel est correct, une somme finie de sinus et cosinus est lisse, donc ne peut avoir de discontinuités dans aucun de ses dérivés

— nimish

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@nimish Il prouve que tous les dérivés sont des sommes finies de (co) sinus, donc il n'a besoin que de continuité de (co) sinus, pas de douceur :-)

— yo '11

Ouais, j'ai raté ça. Bien que de l'analyticité de $ \ exp (z) $ pour $ z \ in \ mathbb {C} $, il s'ensuit de toute façon trivial.

— nimish

Bravo pour la réponse mathématique qui explique les mathématiques au lieu de simplement les coller!

— uhoh

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Les bonnes réponses abondent ici, mais cela dépend vraiment de votre interprétation de "peut être représenté par" .

Il faut comprendre qu'une onde triangulaire est une construction mathématique théorique qui ne peut pas réellement exister dans la réalité.

Mathématiquement parlant, pour obtenir une onde triangulaire pure, vous auriez besoin d'un nombre infini d'ondes sinusoïdales harmoniques, mais pour obtenir une représentation d'une onde triangulaire, la plupart de ces composants sont trop petits pour avoir de l'importance, perdez-vous dans le bruit de fond du système ou sont d'une fréquence si élevée qu'ils ne peuvent plus être transmis.

En tant que tel, dans la pratique, vous n'avez besoin que d'un nombre fini pour obtenir une représentation utilisable. La qualité de cette représentation dicte le nombre d'harmoniques à utiliser.

— Trevor_G
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C'est en effet une des choses à regarder, je vais sûrement demander à mon professeur s'il voulait dire que parce que vous avez raison, en réalité nous n'allons pas du tout aux fréquences infinies, pas même dans l'onde carrée (qui n'est pas '' t un carré pur) :)

— Syed Mohammad Asjad

Bien que vous ayez raison de dire qu'une onde triangulaire est une construction mathématique, votre raisonnement est faux. Le fait que vous ne puissiez pas créer un nombre fini d'harmoniques ne constitue pas une preuve que vous ne pouvez pas le faire du tout.

— yo '11

@yo 'en effet c'est une de ces choses avec lesquelles je pense que beaucoup d'entre nous ont du mal. Si une onde triangulaire = nombre infini d'ondes sinusoïdales à un moment donné, vous ne pouvez pas ajouter ou passer les harmoniques. Si c'est juste une onde triangulaire ... générée par d'autres moyens ... alors quoi ... comment la transmets-tu ... et comment la chose qui la transmet connaît-elle la différence ... me donne mal à la tête en pensant à ce sujet .. Fondamentalement, même si ce n'est qu'un court morceau de fil ou une trace de PCB ... cela ne peut pas sans le déformer.

— Trevor_G

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La différence entre l'idéal mathématique et le monde réel, en un mot.

— peterG

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Une autre approche.

Appelons x (t) l'onde triangulaire et y (t) sa dérivée, qui est une onde carrée, donc discontinue.

Si x (t) était une somme finie de signaux sinusoïdaux, sa dérivée, par la linéarité de cette opération, serait une somme finie de dérivés de signaux sinusoïdaux, c'est-à-dire encore une somme finie de signaux sinusoïdaux.

Mais ce dernier signal ne peut pas être l'onde carrée y (t), car une somme finie de signaux sinusoïdaux est continue. Nous avons donc une contradiction.

Par conséquent, x (t) doit avoir des composants de Fourier infinis.

— Lorenzo Donati soutient Monica
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Je propose un test beaucoup plus simple à utiliser en pratique. Si l'onde a des angles vifs, elle nécessite des composants sinusiodaux infinis pour se construire.

Pourquoi? Parce qu'une série finie de sinusiodes ne peut pas faire un coin pointu. Ceci est prouvé par induction sur la règle de décomposition des sommes (c'est-à-dire Σ (a + b) = Σ a + Σ b pour toutes les sommations finies et toutes les sommations infinies convergentes inconditionnellement).

— Joshua
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L'ensemble des fonctions exprimables par une série de Fourier finie sont:

F : = {F (X) = {une}_{0} + \sum_{n}^{n \in N} ({une}_{n} \cos n X + b_{n} péché n X)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

Pour tous les ensembles finis d'indices N . Différenciation terme à terme montre que le dérivé est (1) en continu et (2) également en F . Étant donné que le dérivé de l'onde triangulaire est pas continue, la fonction de l'onde triangulaire se trouve pas dans F .

Cette preuve est basé sur la discontinuité, mais la plupart des fonctions continues ne pas non plus appartiennent à F . Puisqu'aucune fonction polynomiale ou exponentielle ne peut être exprimée comme une somme finie de sinus et cosinus, les seuls membres de F sont ceux écrits explicitement dans le formulaire ci-dessus.

— Jared Goguen
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