Que sont exactement les harmoniques et comment «apparaissent-elles»?

Après avoir lu tant de sources en ligne, je ne comprends toujours pas pourquoi différentes formes d'onde ont des harmoniques.

Par exemple: lors de la conception d'un circuit de modulation d'amplitude stupide (AM) qui place une onde carrée d'un microcontrôleur dans une antenne, comment les harmoniques sont-elles générées? Le signal est juste "on" ou "off", comment sont les première, troisième et cinquième harmoniques et pourquoi s'affaiblissent-elles?

J'ai entendu dire que les oscilloscopes pouvant mesurer jusqu'à la cinquième harmonique d'une onde carrée (ou quelque chose de similaire) sont importants, mais pourquoi cela rendrait-il la lecture différente? Ces harmoniques ne sont-elles pas pertinentes dans des domaines tels que le transfert de données (élevé = 1, faible = 0) et ne sont-elles importantes que dans des situations telles que l'audio ou la RF?

Pourquoi les ondes sinusoïdales n'ont-elles pas autant d'harmoniques? Parce que la forme d'onde est toujours en mouvement et non plate en montant (triangle) ou horizontale (carré), mais circulaire avec une valeur toujours changeante?

Les ondes sinusoïdales n'ont pas d'harmoniques car ce sont exactement les ondes sinusoïdales qui, combinées, peuvent construire d'autres formes d'onde. L'onde fondamentale est un sinus, vous n'avez donc pas besoin d'ajouter quoi que ce soit pour en faire le signal sinusoïdal.

À propos de l'oscilloscope. De nombreux signaux ont un grand nombre d'harmoniques, certains, comme une onde carrée, en théorie infinis.

Il s'agit d'une construction partielle d'une onde carrée. Le sinus bleu qui montre 1 période est le fondamental. Ensuite, il y a la troisième harmonique (les ondes carrées n'ont même pas d'harmoniques), la violette. Son amplitude est 1/3 de la fondamentale, et vous pouvez voir que c'est trois fois la fréquence du fondamental, car elle montre 3 périodes. Idem pour la cinquième harmonique (marron). L'amplitude est 1/5 de la fondamentale et elle montre 5 périodes. Leur ajout donne la courbe verte. Ce n'est pas encore une bonne onde carrée, mais vous voyez déjà les bords raides, et la ligne horizontale ondulée deviendra finalement complètement horizontale si nous ajoutons plus d'harmoniques. C'est ainsi que vous verrez une onde carrée sur l'oscilloscope si seulement la cinquième harmonique est affichée. C'est vraiment le minimum, pour une meilleure reconstruction, vous aurez besoin de plus d'harmoniques.

Comme tout signal non sinusoïdal, le signal modulé AM créera des harmoniques. Fourier a prouvé que chaque signal répétitif peut être déconstruit en un fondamental (même fréquence que la forme d'onde) et en harmoniques qui ont des fréquences qui sont des multiples du fondamental. Il s'applique même aux formes d'onde non répétitives. Ainsi, même si vous ne voyez pas facilement à quoi ils ressembleraient, l'analyse est toujours possible.

Il s'agit d'un signal AM de base et le signal modulé est le produit de la porteuse et du signal en bande de base. À présent

$sin(f_C) \cdot sin(f_M) = \dfrac{cos(f_C - f_M) - cos(f_C + f_M)}{2}$

Vous pouvez donc voir que même un produit de sinus peut être exprimé comme la somme des sinus, c'est-à-dire les deux cosinus (les harmoniques peuvent avoir leur phase décalée, dans ce cas de 90 °). Les fréquences et sont les bandes latérales gauche et droite de la fréquence porteuse .( f C + f M ) f $(f_C - f_M)$$(f_C + f_M)$$f_C$

Même si votre signal en bande de base est un signal plus complexe, vous pouvez séparer le signal modulé en sinus séparés.

La réponse du Pentium100 est assez complète, mais je voudrais donner une explication beaucoup plus simple (bien que moins précise).

La raison pour laquelle les ondes sinusoïdales n'ont (idéalement) qu'une seule harmonique est parce que le sinus est le signal périodique "le plus lisse" que vous pouvez avoir, et c'est donc le "meilleur" en termes de continuité, de dérivabilité, etc. Pour cette raison, il est pratique d'exprimer les formes d'onde en termes d'ondes sinusoïdales (vous pouvez également le faire avec d'autres ondes, car elles sont ).$C^{\infty}$

Juste un exemple: pourquoi dans l'eau vous voyez habituellement des vagues courbes? (pour cette raison, ignorez l'effet de la plage ou du vent) Encore une fois, c'est parce que c'est la forme qui nécessite moins d'énergie pour se former, car toutes les rampes et les bords sont lisses.

Dans certains cas, comme l' orgue Hammond , les ondes sinusoïdales sont en fait utilisées pour composer le signal, car avec la décomposition, il est possible de synthétiser un grand nombre (pratiquement tous) de sons.

Il y a une belle animation de LucasVB expliquant la décomposition de Fourier d'une onde carrée:

Ces images expliquent mieux la décomposition des ondes carrées en harmoniques:

Vous pouvez décomposer n'importe quelle forme d'onde en une série infinie d'ondes sinusoïdales additionnées. Ceci est appelé analyse de Fourier (si la forme d'onde d'origine se répète) ou transformée de Fourier (pour n'importe quelle forme d'onde).

Dans le cas d'une forme d'onde répétitive (comme une onde carrée), lorsque vous effectuez une analyse de Fourier, vous constatez que tous les sinus qui composent la forme d'onde ont des fréquences qui sont un multiple entier de la fréquence de la forme d'onde d'origine. Celles-ci sont appelées "harmoniques".

Une onde sinusoïdale n'aura qu'une seule harmonique - la fondamentale (enfin, elle est déjà sinusoïdale, elle est donc composée d'un sinusoïdal). L'onde carrée aura une série infinie d'harmoniques impaires (c'est-à-dire, pour faire une onde carrée à partir de sinus, vous devez ajouter des sinus de chaque multiple impair de la fréquence fondamentale).

Les harmoniques sont générées en déformant l'onde sinusoïdale (bien que vous puissiez les générer séparément).

Pourquoi est-ce important:

1. Vous pouvez créer une onde sinusoïdale à partir de n'importe quelle onde d'une fréquence fixe, tant que vous avez un filtre qui passe la fréquence fondamentale, mais bloque la fréquence 2x (car vous ne laisseriez qu'une seule harmonique en place).
2. En fait, vous pouvez créer une onde sinusoïdale qui a une fréquence différente de l'original - utilisez simplement un filtre passe-bande pour passer l'harmonique que vous voulez. Vous pouvez l'utiliser pour obtenir une onde sinusoïdale d'une fréquence qui est un multiple de la fréquence d'un autre sinusoïdal - il suffit de déformer le sinusoïdal d'origine et de choisir l'harmonique souhaitée.
3. Les systèmes RF doivent émettre des formes d'onde qui ne contiennent pas d'harmoniques en dehors de la plage de fréquences autorisée. C'est ainsi qu'une alimentation PWM (fréquence de fonctionnement ~ 100 kHz, onde carrée) peut interférer avec la radio FM (fréquences de fonctionnement 88-108 MHz, 11-12 MHz (IF)).
4. Si vous voulez avoir une onde carrée avec des temps de montée / descente très rapides, la bande passante de votre système devra être beaucoup plus large que la fréquence fondamentale de votre onde carrée.

La dérivée - taux de variation - d'une sinusoïde est une autre sinusoïde à la même fréquence, mais déphasée. Les composants réels - fils, antennes, condensateurs - peuvent suivre les changements (de tension, de courant, d'intensité de champ, etc.) des dérivés ainsi que le signal d'origine. Les vitesses de changement du signal, de la vitesse de changement du signal, de la vitesse de changement de la vitesse de changement du signal, etc., existent toutes et sont finies.

Les harmoniques d'une onde carrée existent parce que le taux de variation (dérivée première) d'une onde carrée se compose de pics très élevés et soudains; pointes infiniment hautes, dans le cas limite d'une soi-disant onde carrée parfaite. Les vrais systèmes physiques ne peuvent pas suivre des taux aussi élevés, donc les signaux sont déformés. La capacité et l'inductance limitent simplement leur capacité à répondre rapidement, alors ils sonnent.

Tout comme une cloche ne peut être ni déplacée ni déformée à la vitesse à laquelle elle est frappée, et donc stocke et libère de l'énergie (en vibrant) à des vitesses plus lentes, de même un circuit ne répond pas à la vitesse à laquelle il est frappé par le pointes qui sont les bords de l'onde carrée. Il sonne ou oscille lui aussi lorsque l'énergie se dissipe.

Un bloc conceptuel peut provenir du fait que les harmoniques sont plus fréquentes que les fondamentales. Ce que nous appelons la fréquence de l'onde carrée est le nombre de transitions qu'elle fait par unité de temps. Mais revenons à ces dérivés - les taux de changement que le signal fait sont énormes par rapport aux taux de changement dans une sinusoïde à cette même fréquence. C'est là que nous rencontrons les fréquences composantes les plus élevées: ces taux de variation élevés ont les attributs des ondes sinusoïdales de fréquence supérieure . Les hautes fréquences sont impliquées par les taux de variation élevés du signal carré (ou autre signal non sinusoïdal).

Le front montant rapide n'est pas typique d'une sinusoïde de fréquence f , mais d'une sinusoïde de fréquence beaucoup plus élevée. Le système physique le suit du mieux qu'il peut mais étant limité en débit, il répond beaucoup plus aux composantes de fréquence inférieure qu'aux composantes supérieures. Nous ralentissons donc les humains à voir l'amplitude plus grande, les réponses en fréquence plus basses et appelons cela f !

En termes pratiques, la raison pour laquelle les harmoniques "apparaissent" est que les circuits de filtrage linéaires (ainsi que de nombreux circuits de filtrage non linéaires) qui sont conçus pour détecter certaines fréquences percevront certaines formes d'onde de basse fréquence comme étant les fréquences qui les intéressent. Pour comprendre pourquoi, imaginez un grand ressort avec un poids très lourd qui est attaché à une poignée via un ressort assez lâche. Tirer sur la poignée ne déplacera pas directement beaucoup le poids lourd, mais le grand ressort et le poids auront une certaine fréquence de résonance, et si l'on déplace la poignée d'avant en arrière à cette fréquence, on peut ajouter de l'énergie au grand poids et au ressort , augmentant l'amplitude de l'oscillation jusqu'à ce qu'elle soit beaucoup plus grande que ce qui pourrait être produit "directement" en tirant sur le ressort lâche.

Le moyen le plus efficace de transférer de l'énergie dans le grand ressort est de tirer un motif lisse correspondant à une onde sinusoïdale - le même motif de mouvement que le grand ressort. Cependant, d'autres modèles de mouvement fonctionneront. Si l'on déplace la poignée dans d'autres modèles, une partie de l'énergie qui est mise dans l'ensemble ressort-poids pendant certaines parties du cycle sera retirée pendant d'autres. À titre d'exemple simple, supposons que l'on bloque simplement la poignée aux extrémités extrêmes du trajet à une vitesse correspondant à la fréquence de résonance (équivalente à une onde carrée). Déplacer la poignée d'un bout à l'autre juste au moment où le poids atteint la fin du voyage nécessitera beaucoup plus de travail que d'attendre que le poids recule en premier, mais si l'on ne déplace pas la poignée à ce moment, le ressort sur la poignée combattra le poids ' s essayer de revenir au centre. Néanmoins, déplacer clairement la poignée d'une position extrême à l'autre fonctionnerait néanmoins.

Supposons que le poids prenne une seconde pour basculer de gauche à droite et une autre seconde pour revenir en arrière. Considérez maintenant ce qui se passe si l'on déplace la poignée d'un extrême de mouvement à l'autre avant, mais s'attarde pendant trois secondes de chaque côté au lieu d'une seconde. Chaque fois que l'on déplace la poignée d'un extrême à l'autre, le poids et le ressort auront essentiellement la même position et la même vitesse qu'ils l'avaient deux secondes plus tôt. Par conséquent, ils auront à peu près autant d'énergie ajoutée qu'ils en auraient deux secondes auparavant. D'un autre côté, ces ajouts d'énergie ne se produiront qu'un tiers aussi souvent qu'ils le feraient lorsque le "temps de latence" n'était que d'une seconde. Ainsi, déplacer la poignée d'avant en arrière à 1 / 6Hz ajoutera un tiers autant d'énergie par minute (puissance) au poids que le ferait d'avant en arrière à 1 / 2Hz. Une chose similaire se produit si l'on déplace la poignée d'avant en arrière à 1 / 10Hz, mais comme les mouvements seront 1/5 aussi souvent qu'à 1 / 2Hz, la puissance sera 1/5.

Supposons maintenant qu'au lieu que le temps de latence soit un multiple impair, on en fait un multiple pair (par exemple deux secondes). Dans ce scénario, la position du poids et du ressort pour chaque mouvement de gauche à droite sera la même que sa position lors du mouvement de droite à gauche suivant. Par conséquent, si la poignée ajoute de l'énergie au ressort dans le premier, cette énergie sera essentiellement annulée par ce dernier. Par conséquent, le printemps ne bougera pas.

Si, au lieu de faire des mouvements extrêmes avec la poignée, on la déplace plus en douceur, alors à des fréquences plus faibles de mouvement de la poignée, il y a plus de fois où l'on combat le mouvement du combo poids / ressort. Si l'on déplace la poignée dans un motif sinusoïdal, mais à une fréquence sensiblement différente de la fréquence de résonance du système, l'énergie que l'on transfère dans le système en poussant dans le "bon" sens sera assez bien équilibrée par l'énergie prise hors du système poussant dans le "mauvais" sens. D'autres modèles de mouvement qui ne sont pas aussi extrêmes que l'onde carrée, au moins à certaines fréquences, transfèrent plus d'énergie dans le système que ce qui est retiré.

une analogie encore plus simple consiste à imaginer un trampoline.

l'électrification d'un conducteur est analogue à l'étirement de la membrane du trampoline, ce qui «étire» (déforme) les champs d'énergie liés à ce fil.

allez vous tenir au milieu du trampoline, descendez et attrapez la membrane du plancher du trampoline. maintenant, levez-vous et tirez / étirez-le au fur et à mesure, il y a donc un pic autour de la hauteur de votre taille.

cela a bien sûr pour effet de stocker de l'énergie dans la membrane.

Maintenant, si vous le laissez tomber, il ne flottera pas simplement doucement et cessera de bouger. il se cassera rapidement puis VIBRERA ... oscillant d'avant en arrière un tas de fois plus "tout seul" ... alors qu'il diminue son énergie stockée.

si, au lieu de cela, vous le remettez progressivement en place ... il ne peut pas s'enclencher violemment n'importe où et donc rien ne le fait / ne lui permet de vibrer "tout seul". la seule vibration de son action vient de vous qui la déplacez.

toutes les fréquences (de n'importe quelle forme d'onde) ont des harmoniques mathématiques, les formes d'onde avec des changements de potentiel soudains offrent une opportunité plus facile pour ces harmoniques d'être exprimées sous forme d'oscillations du monde réel.

Juste un complément à cette question,

Ces harmoniques ne sont-elles pas pertinentes dans des domaines tels que le transfert de données (élevé = 1, faible = 0) et ne sont-elles importantes que dans des situations telles que l'audio ou la RF?

que je pense que personne n'a dit: Ce n'est pas hors de propos. Habituellement, nous sommes intéressés à transmettre des impulsions dans des circuits numériques, donc dans la plupart des cas, nous ne prenons pas en compte cette phénoménologie des ondes. En effet, même si l'onde carrée a ses harmoniques (pas le nombre infini d'harmoniques dans le monde réel), il faudra donc un certain temps pour monter / descendre, la conception de vos circuits en est généralement "consciente". C'est l'un des plus grands avantages de l'électronique numérique / communication numérique: à partir d'un point donné (tension) vers le haut, le signal est interprété comme 1 et à partir d'un point donné vers le bas, c'est 0. Dans la plupart des cas, peu importe le format précis de l'onde carrée car elle répond à certaines spécifications temporelles.

Mais notez que si la fréquence de votre signal carré monte jusqu'à un point où la longueur d'onde est approximativement de l'ordre de grandeur de sa ligne de transmission (peut être une piste conductrice d'un PCB), alors vous pouvez prendre cette phénoménologie d'onde en considération. Vous avez toujours un circuit dans la main, mais certains phénomènes ondulatoires peuvent se produire. Ainsi, en fonction de votre impédance "ligne", certaines fréquences peuvent avoir une vitesse de propagation différente des autres fréquences. Étant donné que l'onde carrée est composée de nombreuses harmoniques (ou idéalement l'infini), vous aurez probablement une onde carrée déformée à la fin de votre ligne de transmission ou de votre piste conductrice (car chaque harmonique se déplacera à une vitesse différente).

Un bon exemple où cela peut se produire est lorsque nous utilisons la transmission de données USB dans un circuit. Notez que le débit de données est très élevé (ondes carrées haute fréquence), vous devez donc prendre en compte l'impédance de votre ligne de transmission. Sinon, vous aurez probablement des problèmes de communication.

Bref, tout est important et tout fonctionne ensemble, mais c'est à vous d'analyser si ces éléments sont importants dans votre projet / analyse ou non.