Pourquoi un circuit RC ne change-t-il pas la forme d'un sinus d'entrée?

Dans l'image ci-dessus, l'onde carrée rouge est l'entrée et l'onde bleue est la sortie d'un circuit RC. Je ne parviens pas à comprendre pourquoi j'obtiens une onde sinusoïdale parfaite lorsque j'alimente une onde sinusoïdale en entrée. Le condensateur doit prendre un certain temps pour se charger et se décharger. Mon intuition crie donc que la sortie est une onde périodique dont la période est la moitié de l'entrée. Quelqu'un pourrait-il clarifier cela pour moi? Merci!

Dans le domaine temporel, ne devrait-il pas faire quelque chose comme ça?
À t = 0, le condensateur a 0 tension. Comme la tension d'entrée est élevée, le condensateur continue de se charger et rencontre l'onde sinusoïdale d'entrée lors de sa chute.

Ensuite, la tension d'entrée devient inférieure à la tension du condensateur, de sorte que le condensateur commence à se décharger et rencontre à nouveau l'onde sinusoïdale d'entrée lorsqu'il augmente.

Apprenez à penser dans l'espace des fréquences. C'est une de ces choses qui est difficile à voir dans le domaine temporel, mais qui tombe bien dans le domaine fréquentiel.

Une onde sinusoïdale est une seule fréquence "pure". Un filtre RC est un système linéaire qui ne peut pas se déformer, ce qui signifie qu'il ne peut pas créer de fréquences dans la sortie qui ne sont pas dans l'entrée. Lorsque vous ne mettez qu'une seule fréquence, la sortie ne peut contenir que cette seule fréquence. Les seules questions sont de savoir quelle sera l'amplitude relative et le déphasage de l'entrée à la sortie.

La raison pour laquelle une onde carrée n'entraîne pas une onde carrée est due au fait qu'une onde carrée contient beaucoup de fréquences. Chacun de ceux-ci peut être atténué et déphasé indépendamment. Lorsque vous modifiez la force relative et les phases des harmoniques, vous obtenez un signal différent dans le domaine temporel.

Une onde carrée peut être considérée comme la superposition d'une série infinie de sinus. Ce sont du tout les harmoniques impaires (multiples entiers impairs de la fréquence fondamentale). L'amplitude de ces harmoniques diminue à des fréquences plus élevées.

Vous pouvez passer une onde carrée à travers plusieurs filtres passe-bas RC successivement, chacun avec une fréquence de coupure bien inférieure à celle de la fréquence de l'onde carrée. Après chaque filtre, le résultat ressemble de plus en plus à un sinus. En effet, ces filtres atténuent davantage les hautes fréquences que les basses. Cela signifie que les harmoniques de l'onde carrée sont plus atténuées que la fondamentale. Si vous faites cela suffisamment, les harmoniques ont si peu d'amplitude par rapport au fondamental, que tout ce que vous voyez est le fondamental. C'est une fréquence unique, donc un sinus.

Ajoutée

Ce n'est pas ainsi que réagirait un filtre RC:

Pour un filtre passe-bas RC, lorsque la fréquence d'entrée est bien en dessous du rolloff, la sortie suit principalement l'entrée. Bien au-dessus de la fréquence d'atténuation, la sortie est l'intégrale de l'entrée.

Quoi qu'il en soit, il n'y aura pas de changements soudains dans la pente de sortie comme vous le montrez. Il n'y a rien de spécial à propos du croisement d'entrée au-dessus ou au-dessous de la sortie, car cela se passe bien. Vous obtenez un point d'inflexion dans la sortie, mais c'est une bosse lisse puisque l'entrée s'approche en douceur avant et quitte en douceur après.

Il peut être instructif d'écrire une boucle pour simuler cela vous-même. Tout ce que vous avez à faire à chaque étape est de modifier la sortie d'une petite fraction de la différence instantanée de l'entrée moins la sortie. C'est ça. Ensuite, lancez une onde sinusoïdale et voyez comment la sortie suit en douceur pour créer un autre sinus, bien qu'en retard de phase et en amplitude.

N'oubliez pas que le taux de variation de la tension du condensateur dépend de la différence de tension entre la tension d'entrée et la tension du condensateur. Votre graphique ne représente pas cela.

Lorsque l'entrée et le condensateur sont à 0 V et que l'entrée commence à augmenter, la tension du condensateur devrait commencer à augmenter lentement, car la tension d'entrée (et donc la différence de tension) est également faible.

Lorsque l'entrée atteint un pic, la différence de tension est au maximum, et ici la tension du condensateur augmente le plus rapidement. Lorsque la tension d'entrée commence à baisser, le taux de charge du condensateur diminue également. Une fois que les deux tensions se sont rencontrées, la différence est à nouveau faible pour commencer, de sorte que le taux de décharge est également faible. Il s'avère que cela se traduit par une autre onde sinusoïdale.

Le graphique ci-dessous a été simulé (avec un tableur) avec la règle mentionnée ci-dessus. La différence de tension entre l'entrée et la tension du condensateur est la plus élevée un peu avant le pic de la tension d'entrée.

$2\pi$

Dans votre graphique, le condensateur se décharge le plus rapidement juste après la rencontre des deux tensions, mais ce n'est pas là que la différence de tension est la plus grande. Avec une entrée à onde carrée, ce serait le cas, puisque la tension d'entrée ne changerait pas avant un autre "pas" dans l'onde carrée. Une entrée sinusoïdale change cependant constamment.

Vous obtiendrez une onde sinusoïdale d'une onde sinusoïdale si votre constante de temps RC permet au condensateur de se charger / décharger au même rythme ou plus rapidement lorsque la forme d'onde d'entrée change.

Votre forme d'onde de sortie sera retardée par la charge et la décharge du condensateur légèrement derrière les changements de la forme d'onde d'entrée, appelés décalage de phase.

Vous trouverez beaucoup de théorie et de mathématiques derrière cela sur Internet, si vous ne l'avez pas déjà.

Pour moi, le domaine temporel est ici plus explicatif. Si vous regardez votre premier graphique, vous voyez ce qui apparaît comme une fonction pas à pas (pour la première demi-période). Autrement dit, vous appliquez soudainement une tension, puis la maintenez constante. Cela signifie que le condensateur tentera d'atteindre la tension appliquée selon ses propres lois, ici de la forme 1-exp(-x).

Si, en revanche, vous appliquez une onde sinusoïdale, pendant la même demi-période vous n'avez plus une montée en tension abrupte, et elle ne reste pas constante: elle augmentera de plus en plus lentement, jusqu'à ce qu'un pic soit atteint, puis il diminuera de plus en plus vite, sommairement autour de son pic. Cela signifie que le condensateur se charge d'abord, de plus en plus lentement, puis se décharge, de plus en plus vite. Ce que vous avez dessiné est le résultat (à tout le moins) d'une charge continue; le sinus se déchargera également.

RC$\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$