S = dérivation VI * / 2

Je me demandais où je pouvais trouver la dérivation pour la formule de puissance complexe, S = VI * / 2, où S, V et I sont des phaseurs complexes.

J'ai vu tout un tas de vérifications où les gens sous-entrent dans l'équation pour montrer que cela fonctionne.

Voici ce que je sais jusqu'à présent, si et et , alors $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
et $V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ et S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— user968243
source

Vous devrez définir S, V, I et tout ce que "* /" est censé signifier.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, c'est I * pour conjugué complexe de I (courant) et divisé par deux, car ce sont tous les deux des ondes sinusoïdales (V et I *) donc ils ont tous les deux leur conversion RMS.

— Kortuk

Soit V et I la tension et le courant instantanés sur une charge. De la définition de la puissance, de la tension et du courant, nous avons la relation pour la puissance instantanée:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Ce qui signifie que la puissance à un instant donné est égale au produit de la tension et du courant exactement à cet instant. $t$

Je suppose que vous savez ce que signifie réellement la représentation phaseur. Juste pour dire que brièvement: un phaseur est un raccourci mathématique pour représenter une sinusoïde à une fréquence inconnue donnée.

Donc, est un raccourci pour . De même: signifie . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

La multiplication de pour tout nous donne la forme d'onde de la puissance instantanée pour chaque . Travailler sur cette multiplication: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Comme , avecet, nous pouvons simplifier l'équation ci-dessus pour: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Cette forme d'onde est assez intéressante pour elle-même: c'est une valeur constante sommés par une sinusoïde $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Cela montre clairement que la puissance instantanée n'est pas constante avec le temps.

Sur la base de ce résultat, nous pouvons voir que la puissance moyenne est égale à la composante non variable de (il est assez simple de prouver que mathématiquement, il suffit de résoudre l'intégrale $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Motivée par ce résultat et par l'interprétation géométrique assez douce de , cette valeur a été définie comme la puissance réelle , c'est-à-dire la puissance réellement délivrée à la charge. Vous savez maintenant que cette soi-disant puissance réelle n'est rien de plus que la puissance moyenne à la charge. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Plonger un peu dans ce concept (c'est dommage que je ne puisse pas dessiner ici, mais je vais essayer):

Soit v un vecteur de magnitude || v || et la phase , et i être un vecteur de magnitude || i || et phase Si vous multipliez || i || par vous avez la projection de i sur v . D'un autre côté, serait la composante de i en quadrature avec v $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

Vous pouvez maintenant comprendre pourquoi la puissance moyenne a une interprétation géométrique cool: la puissance moyenne est la tension multipliée par la projection du courant sur la tension, sur l'espace phaseur.

Cela a motivé la création de la puissance complexe S comme:

S = P + jQ

Avec cette définition, la partie réelle du vecteur est exactement la puissance moyenne délivrée à la charge, et la partie complexe est la puissance dite en quadrature , appelée puissance réactive (google pour Power Triangle pour voir l'interprétation géométrique de ce résultat) .

Ok, revenons maintenant à la définition de , nous voyons que $s(t)$ et, par définition, et pour se conformer à la définition de S, est égal à $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Donc, comme nous voulions le prouver au début:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Alors voilà, ce que vous vouliez voir;)

edit : Quelle est l'interprétation physique de Q?

J'ai montré ci-dessus quelle est l'interprétation physique de la partie réelle de la puissance complexe, P, c'est-à-dire la puissance moyenne délivrée à la charge. Mais qu'est-ce que Q exactement, comment peut-on le visualiser? Il est basé sur le fait que cos et sin sont orthogonaux , et le principe de superposition peut être appliqué à la puissance si les deux formes d'onde impliquées dans le calcul sont orthogonales. Entrons dans le calcul, car c'est vraiment ce qui compte.

En utilisant le résultat obtenu ci-dessus: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

C'est une sinusoïde centrée sur $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

C'est une forme d' onde purement oscillatoire avec une valeur moyenne égale à 0. Soit l' appel de ce résultat Q .

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

Dans ce cas, s (t) est exactement l'équation générale que nous avons trouvée dans la discussion ci-dessus. Mais nous pouvons réécrire cela pour utiliser le résultat des deux cas précédents, comme ceci:

$\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Réorganiser les termes:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$ , that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$ ?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

And the complex power S, the total power, is exactly the sum of these two components

— Castilho
source

Thank you for your good explantation! I have a few questions though: 1. I don't follow what happened to

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$ . I thought this term would be the reactive power, Q; however,

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ . 2. I don't understand how you went from

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$ . It's as though

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

— user968243

Yep. you're right, that's NOT Q. The reactive power is defined only in terms of the phase difference between voltage and tension, and it's a value that's directly related to the definition of S as a phasor. It's the power that would be delivered by the current in quadrature with the voltage. The time varying component is not taken into account, because in this sense what really matters is the mean power at the load. The varying part EXISTS, is really there (watch a incandescent light bulb, for example), but, over time, the power is related only to the static part of s(t). ;)

— Castilho

Okay, so does this varying part have a special name? Anyway, so if I understand it correctly, the amount of I in the direction of V is the real power, and the amount of I, perpendicular to V is the complex power.

— user968243

almost that, the amount of I in the direction of V multiplied by V is the real power P, the amount of I perpendicular to V multiplied by V is the REACTIVE power Q, P+jQ is the complex power, or apparent power ;)

— Castilho

D'accord, cela a du sens! En fait dans mon commentaire précédent, je demandais quel est le nom de ceci: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Je pensais vraiment que c'était la puissance réactive ... Merci pour vos reples au fait, je vous en suis reconnaissant!

— user968243