Impédances complexes

Que signifie avoir une impédance complexe?

Par exemple, l'impédance d'un condensateur (dans le domaine de Laplace?) Est donnée par 1 / sC (je crois) ce qui équivaut à où les transitoires sont négligé. Que signifie que l'impédance soit imaginaire?$\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Je suis actuellement en 2e année de génie électrique à l'Université, donc, si possible, j'apprécierais une réponse mathématique valable et approfondie si ce n'est pas trop difficile, avec la référence du matériel d'étude (ressources web et papier) idéale.

Merci d'avance.

TL; DR La partie imaginaire de l'impédance vous indique la composante réactive de l'impédance; cela est responsable (entre autres) de la différence de phase entre le courant et la tension et la puissance réactive utilisée par le circuit.

Le principe sous-jacent est que tout signal périodique peut être traité comme la somme (parfois) d'ondes sinusoïdales infinies appelées harmoniques, avec des fréquences également espacées. Chacun d'eux peut être traité séparément, comme un signal qui lui est propre.

Pour ces signaux, vous utilisez une représentation qui est comme:

Et vous pouvez voir que nous avons déjà sauté dans le domaine des nombres complexes, car vous pouvez utiliser une exponentielle complexe pour représenter la rotation.

L'impédance peut donc être active (résistance) ou réactive (réactance); tandis que le premier, par définition, n'affecte pas la phase des signaux ( ) de la réactance, il est donc possible d'utiliser des nombres complexes pour évaluer la variation de la phase introduite par la réactance.$\phi$

Vous obtenez donc:

où | Z | est l'amplitude de l'impédance, donnée par:

et thêta est la phase introduite par l'impédance, et est donnée par:

Appliquée à la fonction précédente, elle devient:

Prenons le condensateur idéal: son impédance sera qui est imaginaire et négative; si vous le mettez dans la circonférence trigonométrique, vous obtenez une phase de -90 °, ce qui signifie qu'avec une charge purement capacitive la tension sera de 90 ° derrière le courant.$\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Alors pourquoi?

Disons que vous voulez additionner deux impédances, 100 Ohm et 50 + i50 Ohm (ou, sans nombres complexes, ). Ensuite, avec des nombres complexes, vous additionnez la partie réelle et imaginaire et obtenez 150 + i50 Ohm.$70.7 \angle 45 ^\circ$

Sans utiliser de nombres complexes, la chose est bien plus compliquée, car vous pouvez soit utiliser des cosinus et des sinus (mais c'est la même chose que d'utiliser des nombres complexes alors) ou entrer dans un désordre de magnitudes et de phases. C'est à vous :).

Théorie

Quelques notions supplémentaires, essayant de répondre à vos questions:

• La représentation des harmoniques des signaux est généralement traitée par la décomposition en série de Fourier :

• L'exponentielle complexe est également liée au cosinus par la formule d'Euler :

Je suis sûr que cela ne répondra pas entièrement à votre question, en fait j'espère que cela complétera les réponses déjà données qui semblent négliger: le concept derrière l'utilisation de nombres complexes (qui, comme déjà dit, n'est qu'un nom de fantaisie pour un type de "quantité" mathématique, si vous voulez).

La première question principale à laquelle nous devons répondre est pourquoi les nombres complexes. Et pour répondre à cette question, nous devons comprendre la nécessité des différents ensembles de nombres, du naturel au réel.

Dès les premiers âges, les nombres naturels permettaient aux gens de compter, par exemple, les pommes et les oranges sur un marché. Ensuite, les nombres entiers ont été introduits pour aborder le concept de «dette» au moyen de nombres négatifs (ce concept était difficile à comprendre à l'époque). Maintenant, les choses deviennent plus intéressantes avec les nombres rationnels et la nécessité de représenter des "quantités" avec des fractions. L'intérêt de ces nombres est que nous avons besoin de deux entiers, et pas seulement un (comme avec les nombres naturels et entiers), par exemple 3/8. Cette façon de représenter les "quantités" est très utile, par exemple pour décrire le nombre de tranches (3) restantes dans une tarte à 8 tranches, quand 5 ont déjà été mangées :) (vous ne pouviez pas le faire avec un entier!).

Maintenant, sautons les nombres irrationnels et réels et passons aux nombres complexes. Les ingénieurs en électronique ont été confrontés au défi de décrire et de faire fonctionner un autre type de "quantité", la tension sinusoïdale (et le courant) dans un circuit linéaire (c'est-à-dire composé de résistances, de condensateurs et d'inductances). Devinez quoi, ils ont trouvé que les nombres complexes étaient la solution.

$\omega$$\phi$

Ils ont également réalisé que dans un circuit linéaire, la fréquence angulaire ( ) ne changerait pas d'un nœud à l'autre, c'est-à-dire que peu importe le point du circuit que vous sondez, vous ne verriez que des différences en termes d'amplitude et de phase, non la fréquence. Ils ont ensuite conclu que la partie intéressante (variable) d'une tension (ou d'un courant) sinusoïdale était son amplitude et sa phase. Ainsi, tout comme nous le faisons avec les nombres rationnels, nous avons besoin de deux nombres pour représenter la tension sinusoïdale variable dans un nœud de circuit linéaire, dans ce cas (A, phi). En fait, ils ont réalisé que l'algèbre des nombres complexes, c'est-à-dire la façon dont vous opérez et reliez ces nombres les uns aux autres, correspond comme un gant à la façon dont les sinusoïdes sont exploitées par des circuits linéaires.$\omega$

Donc, quand vous dites que l'impédance d'un condensateur est c'est-à-dire (A = 1 / C, phi = -90º) dans la notation adoptée ci-dessus, vous dites en fait que la tension est retardé de 90º par rapport à la phase actuelle. Et s'il vous plaît, oubliez cette nomenclature "transcendantale" sur l'imaginaire et le complexe ... en fait, nous parlons de "quantités" avec deux composantes orthogonales (c.-à-d. "Qui ne se mélangent pas, peu importe à quel point vous les secouez dans une tasse à cocktail") "), tout comme les vecteurs, qui représentent deux aspects physiques différents des phénomènes.$\frac{1}{j \omega C}$

METTRE À JOUR

Il y a aussi quelques notes que je recommande fortement de lire, "Une introduction à l'analyse complexe pour les ingénieurs" par Michael D. Alder. Il s'agit d'une approche très amicale du sujet. En particulier, je recommande le premier chapitre.

L'utilisation de nombres complexes est une façon mathématique de représenter à la fois des composants en phase et hors phase - le courant par rapport à la tension. L'impédance imaginaire ne signifie pas que l'impédance n'existe pas, cela signifie que le courant et la tension sont déphasés l'un par rapport à l'autre. De même, une impédance réelle ne signifie pas réelle au sens quotidien, mais simplement que le courant est en phase avec la tension.

1. Les descriptions ci-dessous SEEK pour démythifier ce que l'on entend par quantités "complexes" dans un contexte RCL. Les concepts de composants «imaginaires» sont une métaphore utile qui tend à aveugler les gens sur les simples réalités sous-jacentes. Le texte ci-dessous parle en termes de RC et ne touche pas aux mystères de LC qui ne sont en fait plus mystérieux en réalité.

2. Il serait plus avantageux pour vous de faire de votre mieux pour résoudre la plupart des points soulevés vous-même en utilisant soit un manuel ou un moteur de recherche Internet avant de chercher des explications auprès des autres PARCE QUE cette question est si fondamentale pour les bases des circuits CA avec réactif Composants. Traiter des questions difficiles établit une priorité sur la façon dont vous allez traiter des choses similaires tout au long de votre éducation et Internet a probablement des millions de pages traitant de ce sujet (Gargoyle dit ~ = 11 millions mais qui peut le dire?). Le degré de détail et de minutie que vous demandez est irréaliste pour un site comme celui-ci, étant donné la grande quantité de détails "là-bas". (Sauf si les propriétaires du site tentent de répliquer un sous-ensemble de Wikipedia).

SO - Je sais que vous aider à vous familiariser avec les bases est une bonne idée afin que vous puissiez le ramasser et l'exécuter à partir de là. Donc ...

Si vous connectez une borne d'entrée à une résistance série à un condensateur et que l'autre condensateur est "mis à la terre", vous obtenez un circuit RC série:
Vin - résistance - condensateur - masse.

Si vous appliquez maintenant une tension de pas à l'entrée, le courant du condensateur augmentera pour correspondre, mais le condensateur commencera à se charger en utilisant cette tension pour produire du courant dans la résistance. L'augmentation de tension sera exponentielle car le courant circulant dans le condensateur sera assailli par Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. c'est-à-dire que lorsque Vcap augmente, le potentiel à travers la résistance diminue et donc le courant diminue. En théorie, il faudra un temps infini pour que Vcap atteigne Vin mais en pratique, il est plus ou moins "là dans environ 3 constantes de temps où
t = RC = le temps mis pour que Iin tombe au 1 / e ème de sa valeur initiale. Le quoi et pourquoi du terme 1 / e que vous connaissez déjà ou que vous ferez après avoir lu les références.

MAINTENANT, si nous appliquons un signal carré, le condensateur se chargera comme ci-dessus lorsque l'entrée est positive et se déchargera de manière exponentielle similaire lorsque l'entrée est mise à la terre ou négative. Alors que le courant du condensateur suivra Vin et sera maximum lorsque Vin passera haut / bas ou bas haut, la tension du condensateur, pour les raisons décrites ci-dessus, sera en retard sur la tension d'entrée. Une fois que l'état d'équilibre a été atteint, si vous tracez Vcap et I cap, vous trouverez deux formes d'onde décalées jusqu'à près de 90 degrés ou aussi peu que presque degrés où un cycle d'entrée entier = 360 degrés. La mesure dans laquelle la tension du condensateur est en retard par rapport à son courant dépend de la fréquence d'entrée et de la constante de temps RC.

Pour les non-initiés, cela peut ressembler à de la magie (ou à l'utilisation de la thiotimoline *), avec une forme d'onde de courant se produisant jusqu'à 1/4 de cycle avant sa tension MAIS c'est simplement parce que la raison logique de cela, comme expliqué ci-dessus, n'est pas nécessairement évident intuitivement à l'inspection.

Si vous commencez à peigner les condensateurs, les résistances et les inductances de différentes manières, vous devez être en mesure de traiter mathématiquement les phases relatives des différentes formes d'onde. [À première vue, il peut sembler que les phaseurs sont étourdis].

Quelques chiffres compétents, ou un aperçu de quelques-unes des quelque 10 millions de pages Web sur le sujet, indiqueront que lorsque vous avez deux formes d'onde qui varient en relation de phase et qui sont basées sur une relation exponentielle mutuelle, alors chaque forme d'onde peut être représentée par une représentation polaire de la forme [R, Theta] qui, à terme, peut être représentée comme un nombre complexe qui a des composantes X et Y qui reflètent la forme polaire.

Le "vecteur" polaire qui représente la relation tension / courant dans une situation donnée utilise une "métaphore" de bras vecteur tournant donnant la longueur du bras et l'angle de phase par rapport à une référence. Cette «métaphore» peut être remplacée par une composante X et Y où l'amplitude de la forme polaire est donnée par R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) et dont l'angle thêta est donné par tan ^ -1 (X / Y ). Cela peut être vu sous forme schématique ci-dessous.

D'ici

AVERTISSEMENT - ne vous laissez pas berner par la terminologie.

Notez que le terme "nombre complexe" est simplement du jargon. L'utilisation de sqrt (-1) est une partie utile de la métaphore qui permet à l'arithmétique de fonctionner MAIS les quantités réelles impliquées sont entièrement réelles et "ordinaires". Lorsque des éléments réactifs tels que des inductances et des condensateurs sont utilisés, la puissance ne sera plus simplement le produit des termes d'amplitude dans les vecteurs de tension et de courant. c'est-à-dire que la puissance de V.sin (fred) x I.sin (Josepine) ne correspond pas (généralement) à VI. Cela n'implique rien de spécial, de magique ou de complexe ou d'imaginaire sur les variables impliquées - c'est juste qu'elles sont variant dans le temps et leurs amplitudes maximales ne coïncident généralement pas.

Lecture supplémentaire - fortement recommandé:

Impédance électrique

Circuit RC

Circuit LC

Calculateur d'impédance complexe

• Je Asimov.

L'expression de la capacité et de l'inductance sous forme de résistances imaginaires présente l'avantage que vous pouvez utiliser des méthodes bien connues pour résoudre des problèmes linéaires avec des résistances afin de résoudre des problèmes linéaires avec des résistances, des condensateurs et des inductances.

De tels problèmes linéaires et leurs méthodes bien connues sont par exemple

1. Problème: calcul de la résistance de deux résistances en série
   Méthode: R = R1 + R2
   peut également être utilisé pour calculer l'impédance d'une résistance / condensateur / inductance en série avec une autre résistance / condensateur / inductance

2. Problème: calcul de la résistance de deux résistances en parallèle
   Méthode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
   peut également être utilisé pour calculer l'impédance de la résistance / condensateur / inductance en parallèle avec une autre résistance / condensateur / inducteur

3. Problème: résolution d'un réseau contenant des résistances, des tensions DC et des sources de courant DC
   Méthode: la résolution d'un système simultané d'équations linéaires
   peut également être utilisée pour résoudre un réseau contenant des résistances, des condensateurs, des inductances, une tension AC ou DC et des sources de courant AC ou DC

4. etc.

Toutes ces formules / méthodes qui fonctionnent avec des valeurs de résistance réelles (uniquement des résistances) et des sources DC fonctionnent tout aussi bien avec des valeurs complexes (résistances, inductances, condensateurs) et des sources AC.

Bien qu'il n'y ait pas nécessairement de raison intuitive pour laquelle l'utilisation de nombres complexes pour représenter une combinaison de signaux en phase et hors phase devrait être utile, il s'avère que les règles arithmétiques pour les nombres complexes correspondent très bien au comportement réel et interaction des résistances, des condensateurs et des inductances.

Un nombre complexe est la somme de deux parties: la partie réelle et une partie "imaginaire", qui peut être représentée par un nombre réel multiplié par i , qui est défini comme étant la racine carrée de -1. Un nombre complexe peut être écrit sous la forme A + Bi , A et B étant des nombres réels. On peut alors utiliser les règles de l'arithmétique polynomiale pour agir sur des nombres complexes en traitant i comme une variable, mais on peut aussi remplacer i² par -1 (donc par exemple le produit de Pi × Qi est -P × Q).

À n'importe quelle fréquence particulière, on peut déterminer comment un réseau de résistances, d'inductances et de condensateurs se comportera en calculant l'impédance effective de chaque élément, puis en utilisant la loi d'Ohm pour calculer la résistance effective des combinaisons série et parallèle, ainsi que les tensions et les courants à travers leur. De plus, comme les résistances, les condensateurs et les inductances sont tous des dispositifs linéaires, on peut calculer le comportement du réseau lorsque des combinaisons de fréquences sont injectées en calculant ce qu'elles feront avec chaque fréquence particulière, puis en additionnant les résultats. L'arithmétique complexe peut être très utile lorsque vous essayez d'analyser le comportement de choses comme les filtres, car elle permet de calculer la sortie du filtre en fonction de l'entrée. Alimenté un signal d'entrée d'un certain nombre réel vvolts à une certaine fréquence f , on peut calculer la tension ou le courant à n'importe quel nœud particulier; la partie réelle sera en phase avec la forme d'onde injectée et la partie imaginaire sera déphasée de 90 degrés. Au lieu d'avoir à utiliser des équations différentielles fantaisistes pour résoudre le comportement du circuit, on peut utiliser l'arithmétique relativement basique avec des nombres complexes.

Les nombres complexes sont utilisés en génie électrique pour des quantités qui ont une amplitude et une phase. L'impédance électrique est le rapport du courant à la tension. Pour les courants et les tensions alternatifs, les formes d'onde de courant et de tension peuvent ne pas être en phase; la phase de l'impédance vous indique cette différence de phase.