Quand est-il nécessaire ou permis d'échantillonner en dessous du taux de Nyquist

J'ai recherché des questions et réponses passées sur cette plate-forme, mais aucune ne répond à cette question. Un prof a déclaré qu'il était possible d'échantillonner en dessous du taux de Nyquist sous certaines conditions. Je voudrais d'abord savoir s'il est possible de le faire, si oui, quand?

Tout d'abord, débarrassons-nous de l'idée fausse du taux de Nyquist.

Les gens apprennent généralement que la fréquence d'échantillonnage minimale doit être le double de la fréquence la plus élevée du signal. C'est complètement faux!

Ce qui est vrai, c'est que si vous avez un spectre "complet", et par complet, je veux dire qu'il utilise complètement toutes les fréquences entre le bord inférieur de sa bande passante et le bord supérieur de sa bande passante, alors vous devez avoir la fréquence d'échantillonnage c'est au moins le double de la bande passante du signal.

Donc, dans l'image ici, la fréquence d'échantillonnage doit être d'au moins 2 * (Fh-Fl) pour obtenir le spectre.

Vous devez également garder à l'esprit que, après avoir effectué l'échantillonnage, toutes les informations sur la fréquence réelle sont perdues dans le signal échantillonné. C'est là que toute l'histoire de la fréquence de Nyquist entre en jeu. Si la fréquence d'échantillonnage est le double de la fréquence la plus élevée du signal, alors nous pouvons supposer en toute sécurité (comme nous sommes souvent entraînés à le faire inconsciemment) que toutes les fréquences du signal échantillonné sont comprises entre zéro et la moitié de la fréquence d'échantillonnage.
En réalité, le spectre du signal échantillonné est périodique autour de Fs / 2 et nous pouvons utiliser cette périodicité pour atteindre des taux d'échantillonnage plus faibles.
Jetez un œil à l'image suivante:
La zone entre le 0 et Fs / 2 est la soi-disant première zone de Nyquist. C'est le domaine où nous procédons à l'échantillonnage "traditionnel". Jetez ensuite un œil à la zone entre les Fs / 2 et Fs. Il s'agit de la deuxième zone de Nyquist. Si nous avons des signaux dans ce domaine, leur spectre sera échantillonné et son spectre inversé, c'est-à-dire que les hautes et basses fréquences seront inversées. Ensuite, nous avons la troisième zone de Nyquist, entre les Fs et 3Fs / 2. Les signaux ici, lorsqu'ils sont échantillonnés, sembleront provenir de la première zone et leur spectre sera normal. Il en va de même pour toutes les autres zones, la règle étant que le spectre des zones impaires est normal et le spectre des zones paires est inversé.

Maintenant, cela va à l'encontre des règles "traditionnelles" sur l'aliasing, car l'aliasing est généralement enseigné comme un monstre diabolique venant ronger vos signaux et que vous devez utiliser les filtres anti-aliasing passe-bas pour vous en débarrasser. Dans la vraie vie, ce n'est pas ainsi que les choses fonctionnent vraiment. Les filtres anti-aliasing ne peuvent pas réellement empêcher l'aliasing, ils le ramènent simplement au niveau où cela n'a plus d'importance.
Ce que nous voulons vraiment faire à la place, c'est éliminer tout signal fort des zones de Nyquist qui ne nous intéresse pas et laisser passer les signaux de la zone de Nyquist qui nous intéressent. Si nous sommes dans la première zone, alors un filtre passe-bas est très bien, mais pour toutes les autres zones, nous avons besoin d'un filtre passe-bande qui nous permettra d'obtenir les signaux utiles de cette zone et de supprimer les déchets que nous don pas besoin que ça vienne des autres zones.

Jetons donc un œil à cet exemple: Ici, nous avons un signal dans la troisième zone de Nyquist qui est laissé passer par un filtre passe-bande. Notre ADC devra seulement avoir la fréquence d'échantillonnage de deux fois la largeur de bande du signal pour le reconstruire, mais nous devons toujours garder à l'esprit qu'il s'agit en fait d'un signal de la troisième zone, lorsque nous devons calculer les fréquences à l'intérieur de notre signal. Cette procédure est souvent appelée échantillonnage passe-bande ou sous-échantillonnage.

Maintenant, après toute cette exposition, pour répondre à votre question quand:
Eh bien, jetons un coup d'œil à la radio, peut-être quelque chose dans le spectre des micro-ondes, peut-être le WiFi. Un canal WiFi typique à l'ancienne pourrait avoir 20 MHz de bande passante, mais la fréquence porteuse serait d'environ 2,4 GHz. Donc, si nous adoptons notre approche naïve d'échantillonnage direct du signal, nous aurions besoin d'un CAN 5 GHz pour voir notre signal, même si nous ne sommes intéressés que par 20 MHz de spectre. Un convertisseur analogique-numérique à 5 GHz est quelque chose de très compliqué et coûteux et il nécessite également une conception très compliquée et coûteuse. D'un autre côté, un ADC à 40 MHz est quelque chose qui n'est pas aussi "magique" qu'un ADC à 5 GHz.
Une chose qui doit être gardée à l'esprit est que, bien que nous puissions en théorie capturer le signal avec un ADC à 40 MHz, nous aurions besoin de filtres anti-aliasing très pointus, donc en pratique, nous ne voulons pas vraiment exécuter l'échantillonnage fréquence trop proche de la bande passante. Une autre chose qui est également négligée est que les circuits d'un ADC réel se comportent comme un filtre à part entière. Les effets de filtrage d'un ADC doivent être pris en compte lors de l'échantillonnage passe-bande. Très souvent, il existe des ADC spéciaux avec des largeurs de bande beaucoup plus larges que la fréquence d'échantillonnage qui sont spécifiquement conçus pour l'échantillonnage passe-bande.

Enfin, il y a l'autre côté de l'histoire, aussi appelé détection compressée. Je ne suis pas un expert en la matière, et c'est quelque chose qui est encore un peu nouveau, mais l'idée de base est que si certaines hypothèses sont remplies (telles que le spectre est rare), nous pouvons échantillonner à des fréquences encore inférieures à deux fois la bande passante du signal.

Ainsi, beaucoup de gens, y compris des professeurs, sont confus quant à ce qu'est le taux de Nyquist:

Le taux de Nyquist est le taux d'échantillonnage dont vous avez besoin pour échantillonner un signal pour éviter de l'endommager par un aliasing

Cela signifie que pour les signaux à valeur réelle et l'échantillonnage à valeur réelle, le taux d'échantillonnage doit être plus de deux fois la largeur de bande du signal analogique.

Cela signifie qu'avec une fréquence d'échantillonnage de 6 kHz, vous pouvez obtenir une représentation à 100% de n'importe quelle bande de 3 kHz.

Cela ne signifie pas que la fréquence d'échantillonnage doit être deux fois la fréquence la plus élevée du signal. Si votre 3 kHz, par exemple, est la bande entre 9 kHz et 12 kHz, vous n'avez pas besoin d'échantillonner à 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz est totalement suffisant pour représenter sans ambiguïté le signal numériquement. Vous auriez toujours besoin de savoir que vos 3 kHz étaient centrés autour de 10,5 kHz, si vous vouliez le relier plus tard à d'autres signaux, mais généralement, cela n'a pas d'importance.

Nous appelons cette technique le sous - échantillonnage , et cela fonctionne à merveille, et c'est une technique 100% standard avec de nombreuses applications techniques. Tout ce dont vous avez besoin pour vous assurer est que tout ce que voit votre ADC (convertisseur analogique-numérique) est limité à la moitié de sa fréquence d'échantillonnage - cela signifie, dans l'exemple susmentionné, que vous devez être sûr qu'il n'y a pas de signal en dessous de 9 kHz et pas signal supérieur à 12 kHz.

bande de base complexe

Notez que cela est vrai uniquement pour l'échantillonnage à valeur réelle. Si vous avez utilisé des éléments comme les démodulateurs IQ (également connus sous le nom de mélangeurs à conversion directe , démodulateurs en quadrature ) pour vous donner une bande de base équivalente et complexe , vous obtenez deux flux d'échantillons synchrones. Dans ce cas, le facteur 2 disparaît. C'est un aspect très important pour la radio définie par logiciel .

structures polyphasées

Si vous êtes dans les dernières parties d'un cours DSP, votre professeur a peut-être fait allusion au fait que vous pouvez implémenter des choses comme des rééchantillonneurs rationnels, où vous devriez normalement suréchantillonner d'un facteur M, puis filtrer pour effacer toutes les images (le filtre s'exécute au débit d'entrée · M), puis filtre pour éviter tous les alias (le filtre s'exécute au débit d'entrée · M) avant le sous-échantillonnage par N, avec un seul filtre qui fonctionne efficacement à 1 / N du débit d'entrée - qui est en fait inférieur à -Échantillonnage Nyquist. Mais ce serait fondamentalement l'un des points forts d'une conférence sur les systèmes polyphasés / multirates, et je doute qu'il l'ait mis dans un cours pour débutants - c'est tout simplement trop déroutant.

Jamais. Mais vous devez vous assurer que vous comprenez exactement ce qu'est réellement le "taux de Nyquist".

Nyquist a déclaré que vous pouvez reconstruire le signal tant qu'il est échantillonné à une vitesse supérieure à deux fois la bande passante du signal. Cette bande passante peut démarrer ou non à DC, mais de nombreuses sources sur ce sujet supposent que c'est toujours le cas et que la composante de fréquence la plus élevée du signal détermine le taux de Nyquist.

Par exemple, si vous avez un signal de diffusion AM à 1 MHz dont la bande est limitée à ± 10 kHz, le taux de Nyquist est 2 × 20 kHz = 40 kHz, et non 2 × 1,01 MHz = 2,02 MHz.

Un prof a déclaré qu'il était possible d'échantillonner en dessous du taux de Nyquist sous certaines conditions.

Si tout ce qui vous intéresse est de calculer la valeur RMS d'une forme d'onde, vous pouvez échantillonner ci-dessous nyquist: -

La forme d'onde bleue est également une onde sinusoïdale ayant la même valeur RMS que l'original. Ce que vous devez éviter est le suivant: -

Exactement deux ampoules sont prises à chaque cycle et il est impossible de savoir si le signal crénelé était en fait la forme d'onde rouge ou la forme d'onde verte.

Le critère nyquist vous indique à quelle fréquence vous devez échantillonner pour reconstruire un signal dont la bande est limitée. Cependant, aucun signal physique n'est limité en bande, ce n'est qu'une idéalisation. D'autres schémas fonctionneront pour échantillonner d'autres signaux idéalisés. En vous donnant des informations a priori sur un signal (qu'il est limité en bande), Nyquist vous explique comment reconstruire l'intégralité du signal à partir de quelques échantillons. Si je vous donne des informations a priori différentes, vous pouvez faire mieux que nyquist. Voici un exemple: mes signaux idéalisés sont linéaires par morceaux. Il suffit d'échantillonner ces signaux à leurs points d'inflexion: beaucoup moins d'échantillons que nécessaire pour les signaux à bande limitée. Pour reconstruire l'ensemble du signal, tracez des lignes droites entre les points d'échantillonnage. Vous pouvez appeler cela le critère "Linequist". :)

Un signal périodique peut être échantillonné en utilisant un taux d'échantillonnage inférieur à Nyquist. Ceci est bien exploité dans les oscilloscopes. Là, un échantillon est enregistré pour chaque répétition du signal, mais à une position différente de la période. Besoin de 512 échantillons? alors 512 périons complets du signal sont nécessaires.

La précision:

Il est facile de voir qu'une onde sinusoïdale stationnaire peut être capturée de cette façon. Mais ces 512 échantillons doivent couvrir le signal. C'est vrai si le 256e et les harmoniques supérieures peuvent être considérés comme des zéros.

Cela est parfois fait intentionnellement, par exemple dans un oscilloscope d'échantillonnage (pas le même qu'un DSO, bien que certains DSO échantillonnent également - mais un oscilloscope d'échantillonnage peut être un appareil entièrement analogique et ils ont été construits depuis les années 1950), pour faire face à des des signaux dont la fréquence est trop élevée pour être économiques à amplifier ou à traiter autrement avec des circuits linéaires - il n'existe pas beaucoup de tubes cathodiques d'oscilloscope (ndlr) pouvant traiter un signal brut à 1 GHz (certains existent!), mais 1 GHz était facile à gérer par sous-échantillonnage même avec la technologie des années 60. Au final, l'ensemble du système se comporte de manière similaire (et non identique) à un récepteur à hétérodynage. Bien qu'il n'y ait pas de LO haute fréquence à onde continue, il y a toujours une composante très haute fréquence cachée (et utilisée) dans l'horloge d'échantillonnage utilisée:

De toute évidence, un signal non périodique ne peut pas être examiné de cette façon, et un signal avec des composantes de fréquence beaucoup plus basses ajoutées peut être complètement mal représenté et / ou mal interprété.

Je pense que ce que [rackandboneman] a dit est conforme à l'intention du professeur. La «certaine condition» serait que le signal d'origine soit périodique.

Voici un code pour montrer comment reconstruire le signal d'origine à partir d'un signal sous-échantillonné. Le signal d'origine a besoin d'une période d'échantillonnage de 1/100 pour reconstruire son modèle unique (bien que sa fréquence fondamentale soit de 8/100). En échantillonnant avec une période d'échantillonnage de 1,5 / 100 s, le motif du signal d'origine est reconstruit presque parfaitement avec une période d'échantillonnage de reconstruction de 0,5 / 100. (En peu de temps, une période d'échantillonnage de 0,5 / 100 est faite à partir d'une période d'échantillonnage de 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Si un signal est échantillonné au débit S, tout contenu de fréquence f sera impossible à distinguer de tout autre contenu de fréquence NS + f ou NS-f pour un entier N.

L'adéquation d'un taux d'échantillonnage donné dépendra de l'existence ou non de deux fréquences dont le contenu devrait être distingué, mais non.

Si par exemple on ne se préoccupe que des signaux dans la gamme 700-800Hz, l'entrée sera dépourvue de contenu inférieur à 300Hz ou supérieur à 1200, et la présence d'autres signaux ne provoquera pas d'écrêtage, une fréquence d'échantillonnage de 1000Hz serait adéquate sans aucune pré- filtrage, malgré la présence de contenu dont la bande passante totale est de 900Hz. Un contenu compris entre 300 Hz et 700 Hz ne se distinguerait pas d'un contenu compris entre 800 Hz et 1 200 Hz, mais si l'on ne se soucie pas d'un tel contenu, cela n'aurait pas d'importance.