Pourquoi le carré de la racine est-il utilisé pour calculer la puissance moyenne, et pas simplement la moyenne de la tension / du courant?

28

P = {je}_{eff}^{2} \times R

$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$ où

I_{eff}

$I_{\text{eff}}$ est le courant effectif. Pour que la puissance soit moyenne,

I

$I$ dois être un courant moyen, donc je suppose que le courant effectif est le courant moyen.

Dans ce cas, pourquoi $I_{\text{eff}}$ n'est-il pas simplement

{je}_{eff} = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} | je | ré t

$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$

Au lieu de cela, il est défini comme suit:

{je}_{eff} = \sqrt{\frac{1}{t} \int_{0}^{t} {je}^{2} ré t}

$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$

Ainsi, l'utilisation de ces deux expressions pour calculer $P$ donne des réponses différentes.

Pourquoi cela est-il ainsi? Ça n'a aucun sens. Je peux seulement deviner que j'interprète mal le courant efficace est le courant moyen. Si ce n'est pas le cas, cependant, je ne vois pas comment $P$ peut être la puissance moyenne quand $I_{\text{eff}}$ n'est pas le courant moyen.

power-supply power circuit-analysis

— Goldname
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50

Pour AC, la tension / intensité moyenne est nulle.

— Roger Rowland

9

La puissance est proportionnelle au courant au carré et non à l'amplitude du courant.

— Chu

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Parce que si vous voulez la puissance moyenne , vous devez calculer la puissance et la faire la moyenne, pas quelque chose qui n'est pas la puissance .

— Neil_UK

4

"Pour que la puissance soit moyenne $ I $ doit être un courant moyen" - c'est là que vous vous trompez.

— user253751

6

@drobertson "Root mean square" = racine de la moyenne du carré, qui n'est pas la même que la moyenne de la racine du carré, et donc pas la même que la moyenne de la valeur absolue.

— user253751

56

Prenons un exemple simple où les sommes sont triviales. J'ai une tension qui est allumée 50% du temps et éteinte 50% du temps. Il est de 10 V lorsqu'il est allumé. La tension moyenne est donc de 5V. Si je connecte une résistance de 1 ohm en travers, elle dissipera 100 W lorsqu'elle est allumée et 0 W lorsqu'elle est éteinte. La puissance moyenne est donc de 50W.

Maintenant, laissez la tension tout le temps mais faites-la à 5V. La tension moyenne est toujours de 5 V, mais la puissance moyenne n'est que de 25 W. Oops.

Ou supposons que je n'ai la tension que 10% du temps, mais c'est 50V. La tension moyenne est à nouveau de 5V, mais la puissance est de 2500W lorsqu'elle est allumée et de 0W lorsqu'elle est éteinte, donc 250W en moyenne.

En réalité, pour calculer la puissance en général, vous devez intégrer (tension instantanée) * (courant instantané) sur une période de la forme d'onde pour obtenir la moyenne (ou de 0 à un certain temps t comme dans votre exemple pour trouver la puissance sur un certain intervalle) .

Si (et c'est un gros si) la charge est une résistance fixe R, vous pouvez dire que v = i * R, donc la puissance instantanée est i ^ 2 * R et donc vous pouvez intégrer i ^ 2 sur la période pour obtenir le " RMS current ", et multiplier par R plus tard (puisqu'il est fixe, il n'entre pas dans l'intégrale).

Le courant RMS n'est pas particulièrement utile si la charge est quelque chose de non linéaire comme une diode. Il peut être utile pour analyser les pertes dans quelque chose comme un condensateur avec un ESR donné. Les pertes (et l'effet de chauffage résultant qui raccourcit la durée de vie du condensateur) seront proportionnelles au courant RMS, et non à la moyenne.

— Spehro Pefhany
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Pour que la puissance soit moyenne, je dois être un courant moyen, donc je suppose que le courant effectif est le courant moyen.

En bref, la tension moyenne x le courant moyen n'est égal à la puissance moyenne que lorsque la tension et le courant sont des quantités CC. Pensez à l'exemple suivant: -

Si vous appliquiez 230 V CA de votre prise de courant à un élément chauffant, il chaufferait ou même chaufferait. C'est prendre le pouvoir que l'on peut vous facturer. 230 V AC est une onde sinusoïdale et toutes les ondes sinusoïdales ont une valeur moyenne de zéro. Le courant résultant qui traverse l'élément chauffant est également une onde sinusoïdale avec une valeur moyenne de zéro.

Donc, utiliser une tension moyenne x un courant moyen produit une puissance moyenne nulle et c'est clairement faux. C'est la tension RMS x le courant RMS qui va donner une réponse significative (que ce soit DC ou AC).

Vous devez revenir à l'essentiel et vous demander ce qu'est la puissance - c'est la tension x le courant et ce sont des valeurs instantanées multipliées ensemble. Il en résulte une forme d'onde de puissance comme celle-ci: -

En raison de l'acte de multiplication, la forme d'onde de puissance a maintenant une valeur moyenne non nulle . En allant plus loin, si la résistance de charge était alors de 1 ohm, l'amplitude du courant sera égale à l'amplitude de la tension appliquée, la puissance devient la moyenne de . $v^2$

Cela nous amène à dire que la puissance est the mean of the square of voltage(ou le courant) et, étant donné que nous avons choisi 1 ohm dans cet exemple, nous pouvons également dire que la tension effective qui produit cette puissance est la square root of the mean of the voltage squaredou la valeur "RMS".

Ainsi, pour une onde sinusoïdale d'amplitude de crête , le sommet de l'onde de puissance est et, parce que l'onde de puissance produite par une onde sinusoïdale au carré est également une onde sinusoïdale (à deux fois la fréquence), la moyenne (moyenne) la valeur est: - $v_{pk}$ $v^2_{pk}$

. Puis en prenant la racine carrée pour obtenir latensionefficace quenous obtenons $\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ ou $\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$ $\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

En effet, la valeur efficace d'une tension (ou d'un courant) alternatif est la valeur équivalente d'une tension (ou d'un courant) continu qui produit le même effet de chauffage dans une charge résistive.

Donc non, la tension moyenne ou le courant moyen n'a pas d'importance mais la puissance moyenne est reine.

— Andy aka
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Bonne explication

— Crowie

Notez que la puissance moyenne est égale à la tension RMS multipliée par le courant RMS si et seulement si la tension et le courant sont proportionnels.

— Peter Green

Cette multiplication signifie-t-elle que les charges non résistives ont une courbe de puissance parfois négative? Est-ce à dire que la moyenne naïve de la puissance est différente de VRMS * IRMS? La différence est-elle liée au facteur de puissance?

— Random832

1

@ Random832 - il semble que votre commentaire aurait dû venir après le mien mais oui, j'ai été prudent avec les mots pour ne pas impliquer de facteur de puissance afin d'éviter des complications inutiles dans la réponse. La puissance est seulement égale à Vrms x I rms dans un circuit alternatif pour les charges qui ont un PF de 1.

— Andy aka

1

@anhnha oui, le cas général est toujours le produit de v et i instantanés. En fait, le facteur de puissance n'est jamais (un mot courageux à utiliser) utilisé pour calculer raisonnablement la puissance. J'ai laissé plein d'autres réponses à ce sujet que vous avez pu voir.

— Andy aka

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Le diable est dans les détails lorsque vous travaillez sur les mathématiques.

Étant donné que la puissance instantanée , alors la puissance moyenne est: $P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

P_{moyenne} = \bar{P_{inst}} = \bar{{je}^{2} \cdot R} = \bar{{je}^{2}} \cdot R = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {je}^{2} ré t \cdot R

$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$

Le courant continu efficace est celui qui dissipe la même puissance moyenne puis il suit:

P_{moyenne} = {je}_{eff}^{2} \cdot R

$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$

{je}_{eff}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {je}^{2} ré t

$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$

{je}_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {je}^{2} ré t}

$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$

\int_{une}^{b} {je}^{2} ré t \neq [\int_{une}^{b} je ré t]^{2}

$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$

$\frac{1}{T}$

En résumé, c'est parce que les mathématiques ne fonctionnent pas de cette façon.

— Addison
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C'est la réponse la plus précise et la plus correcte, l'OMI.

— hcabral

4

La puissance moyenne n'est que l'intégrale du travail, sur une période de temps finie, divisée par cette période de temps. Pour votre cas, chaque instant de travail est:

ré U = P_{t} \cdot ré t = R_{t} \cdot {je}_{t}^{2} \cdot ré t

$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$

Donc, vous intégrez cela pour obtenir un travail total pour une période finie, puis, pour le convertir en une valeur de puissance moyenne, vous le divisez simplement par la période finie. Ou:

\bar{P} = \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} R_{t} \cdot {je}_{t}^{2} \cdot ré t

$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$

$R_t$

\bar{P} = R \cdot \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} {je}_{t}^{2} \cdot ré t

$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$

$R\cdot I_{eff}^2$

\begin{aligned} \bar{P} = R \cdot {je}_{e F F}^{2} = R \cdot \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} {je}_{t}^{2} \cdot ré t \\ ∴ {je}_{e F F}^{2} & = \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} {je}_{t}^{2} \cdot ré t \end{aligned}

$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$

C'est juste une substitution équivalente, non?

Et puis évidemment:

\begin{aligned} {je}_{e F F} & = \sqrt{\frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} {je}_{t}^{2} \cdot ré t} \end{aligned}

$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$

$t_0=0$ $t_1=t$

— jonk
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Belle réponse propre. Je suis sûr que vous apprécieriez également une digression dans la norme 2 des espaces de Hilbert ...

— carloc

3

Imaginez que deux courants traversent simultanément votre charge:

Courant continu de 1A
Courant alternatif avec amplitude 1A

Le courant total ressemblera à ceci:

$I_{eff}$

— Dmitry Grigoryev
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2

$R=1\Omega$

\bar{P} = \frac{1 s \cdot 1 {UNE}^{2} \cdot 1 Ω + 1 s \cdot dix {UNE}^{2} \cdot 1 Ω}{2 s} = 50,5 W

$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$

Réécrivons ceci:

\bar{P} = 1 Ω * \underset{= {je}_{e F F}^{2}}{\underset{⏟}{(\frac{1 s \cdot 1 {UNE}^{2} + 1 s \cdot dix {UNE}^{2}}{2 s})}}

$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$

En revanche, le courant moyen est de 5,5A, ce qui donne une "puissance moyenne" de 30,25W.

Le fait est que la formule de puissance contient le carré du courant, donc le courant effectif est supérieur à la moyenne du (valeur absolue) du courant.

— bonbon
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2

Permettez-moi de dire ceci en termes plus généraux: la puissance instantanée P (t) dissipée sur une charge est un produit (au sens mathématique comme multiplication) de V (t) et I (t). Ou I (t) * I (t) / R d'ailleurs. La puissance moyenne est donc une moyenne [I (t) * I (t)] / R. Le paradoxe est dans le théorème mathématique bien connu qu'une moyenne d'un produit de fonctions variables n'est pas égale au produit de leurs moyennes ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

de manière équivalente,

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Pour illustrer ce problème de calcul de base à un extrême, supposons que vous avez une charge de résistance de 1 Ohm et que la tension est pulsée à 10 V pour un rapport cyclique de 10%, 10% en hausse, 90% sans tension. La puissance dissipée réelle est de 10 V * 10 A = 100 W pour 10% du rapport cyclique et de zéro pour le reste du rapport cyclique. La puissance moyenne dissipée par cette résistance est donc de 10W .

Maintenant, si vous prenez (ou même mesurez!) Les moyennes séparément en utilisant des mètres séparés, la moyenne [V] de cette forme d'onde pulsée montera à 1V et la moyenne de I à 1A. En multipliant les résultats mesurés, on pourrait conclure que la puissance consommée par cet "appareil" n'est que de 1W, ce qui sera totalement faux d'un facteur 10 !!!.

Il s'agit d'une erreur typique dans de nombreuses disciplines et applications. Par exemple, cette erreur est à la base de nombreuses fausses allégations de certains chauffe-eau magiques qui produisent plus de puissance que "l'électricité consommée" généralement expliquée par la "fusion à froid" ou d'autres BS. Des brevets sont même accordés sur ces "radiateurs pulsés".

— Ale..chenski
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